Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60991 / 53569
↖ ↑ ↗
← N 31.201056°
W 12.483215°		 ← 261.25 m → N 31.201056°
W 12.480469°		 →
↑
261.21 m
↓
↑
261.21 m
↓
N 31.198706°
W 12.483215°		 ← 261.25 m →
68 242 m²		 N 31.198706°
W 12.480469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465328216552734 y=0.408702850341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465328216552734 × 217)
    floor (0.465328216552734 × 131072)
    floor (60991.5)     		tx = 60991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408702850341797 × 217)
    floor (0.408702850341797 × 131072)
    floor (53569.5)     		ty = 53569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60991 / 53569 ti = "17/60991/53569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60991/53569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60991 ÷ 217
    60991 ÷ 131072     		x = 0.465324401855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53569 ÷ 217
    53569 ÷ 131072     		y = 0.408699035644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465324401855469 × 2 - 1) × π
    -0.0693511962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21787321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408699035644531 × 2 - 1) × π
    0.182601928710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.573660877753212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21787321} λ = -0.21787321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.573660877753212))-π/2
    2×atan(1.77475232459721)-π/2
    2×1.05767873923174-π/2
    2.11535747846348-1.57079632675     		φ = 0.54456115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21787321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.483215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54456115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.201056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60991 KachelY 53569 -0.21787321 0.54456115 -12.483215 31.201056
    Oben rechts KachelX + 1 60992 KachelY 53569 -0.21782527 0.54456115 -12.480469 31.201056
    Unten links KachelX 60991 KachelY + 1 53570 -0.21787321 0.54452015 -12.483215 31.198706
    Unten rechts KachelX + 1 60992 KachelY + 1 53570 -0.21782527 0.54452015 -12.480469 31.198706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54456115-0.54452015) × R
    4.10000000000688e-05 × 6371000     		dl = 261.211000000438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54456115-0.54452015) × R
    4.10000000000688e-05 × 6371000     		dr = 261.211000000438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21787321--0.21782527) × cos(0.54456115) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.855354716208055 × 6371000     		do = 261.247347160466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21787321--0.21782527) × cos(0.54452015) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.85537595524261 × 6371000     		du = 261.253834108312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54456115)-sin(0.54452015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855354716208055-0.85537595524261)×R²
    abs(-0.21782527--0.21787321)×2.12390345557534e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.12390345557534e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.12390345557534e-05×40589641000000     		ar = 68241.5280398052m²