Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60865 / 89026
↖ ↑ ↗
← S 54.062612°
W 12.829285°		 ← 179.25 m → S 54.062612°
W 12.826538°		 →
↑
179.22 m
↓
↑
179.22 m
↓
S 54.064224°
W 12.829285°		 ← 179.25 m →
32 125 m²		 S 54.064224°
W 12.826538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464366912841797 y=0.679218292236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464366912841797 × 217)
    floor (0.464366912841797 × 131072)
    floor (60865.5)     		tx = 60865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679218292236328 × 217)
    floor (0.679218292236328 × 131072)
    floor (89026.5)     		ty = 89026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60865 / 89026 ti = "17/60865/89026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60865/89026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60865 ÷ 217
    60865 ÷ 131072     		x = 0.464363098144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89026 ÷ 217
    89026 ÷ 131072     		y = 0.679214477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464363098144531 × 2 - 1) × π
    -0.0712738037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22391326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679214477539062 × 2 - 1) × π
    -0.358428955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.12603777207512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22391326} λ = -0.22391326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12603777207512))-π/2
    2×atan(0.324315726853774)-π/2
    2×0.31361287299206-π/2
    0.62722574598412-1.57079632675     		φ = -0.94357058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22391326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.829285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94357058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.062612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60865 KachelY 89026 -0.22391326 -0.94357058 -12.829285 -54.062612
    Oben rechts KachelX + 1 60866 KachelY 89026 -0.22386532 -0.94357058 -12.826538 -54.062612
    Unten links KachelX 60865 KachelY + 1 89027 -0.22391326 -0.94359871 -12.829285 -54.064224
    Unten rechts KachelX + 1 60866 KachelY + 1 89027 -0.22386532 -0.94359871 -12.826538 -54.064224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94357058--0.94359871) × R
    2.81299999999041e-05 × 6371000     		dl = 179.216229999389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94357058--0.94359871) × R
    2.81299999999041e-05 × 6371000     		dr = 179.216229999389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22391326--0.22386532) × cos(-0.94357058) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.586900820743802 × 6371000     		do = 179.254617482269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22391326--0.22386532) × cos(-0.94359871) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.586878044808613 × 6371000     		du = 179.24766112541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94357058)-sin(-0.94359871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586900820743802-0.586878044808613)×R²
    abs(-0.22386532--0.22391326)×2.27759351887347e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.27759351887347e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.27759351887347e-05×40589641000000     		ar = 32124.7134110797m²