Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60573 / 88563
↖ ↑ ↗
← S 53.309544°
W 13.631286°		 ← 182.45 m → S 53.309544°
W 13.628540°		 →
↑
182.53 m
↓
↑
182.53 m
↓
S 53.311186°
W 13.631286°		 ← 182.44 m →
33 302 m²		 S 53.311186°
W 13.628540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462139129638672 y=0.675685882568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462139129638672 × 217)
    floor (0.462139129638672 × 131072)
    floor (60573.5)     		tx = 60573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675685882568359 × 217)
    floor (0.675685882568359 × 131072)
    floor (88563.5)     		ty = 88563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60573 / 88563 ti = "17/60573/88563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60573/88563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60573 ÷ 217
    60573 ÷ 131072     		x = 0.462135314941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88563 ÷ 217
    88563 ÷ 131072     		y = 0.675682067871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462135314941406 × 2 - 1) × π
    -0.0757293701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23791083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675682067871094 × 2 - 1) × π
    -0.351364135742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.10384298755103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23791083} λ = -0.23791083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10384298755103))-π/2
    2×atan(0.331594319133822)-π/2
    2×0.320184625944826-π/2
    0.640369251889652-1.57079632675     		φ = -0.93042707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23791083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.631286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93042707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.309544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60573 KachelY 88563 -0.23791083 -0.93042707 -13.631286 -53.309544
    Oben rechts KachelX + 1 60574 KachelY 88563 -0.23786290 -0.93042707 -13.628540 -53.309544
    Unten links KachelX 60573 KachelY + 1 88564 -0.23791083 -0.93045572 -13.631286 -53.311186
    Unten rechts KachelX + 1 60574 KachelY + 1 88564 -0.23786290 -0.93045572 -13.628540 -53.311186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93042707--0.93045572) × R
    2.86499999999634e-05 × 6371000     		dl = 182.529149999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93042707--0.93045572) × R
    2.86499999999634e-05 × 6371000     		dr = 182.529149999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23791083--0.23786290) × cos(-0.93042707) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.597491579950446 × 6371000     		do = 182.451241761581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23791083--0.23786290) × cos(-0.93045572) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.597468605981189 × 6371000     		du = 182.444226383692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93042707)-sin(-0.93045572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597491579950446-0.597468605981189)×R²
    abs(-0.23786290--0.23791083)×2.29739692566566e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.29739692566566e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.29739692566566e-05×40589641000000     		ar = 33302.0298219475m²