Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60397 / 88443
↖ ↑ ↗
← S 53.112163°
W 14.114685°		 ← 183.33 m → S 53.112163°
W 14.111938°		 →
↑
183.29 m
↓
↑
183.29 m
↓
S 53.113812°
W 14.114685°		 ← 183.32 m →
33 603 m²		 S 53.113812°
W 14.111938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460796356201172 y=0.674770355224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460796356201172 × 217)
    floor (0.460796356201172 × 131072)
    floor (60397.5)     		tx = 60397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674770355224609 × 217)
    floor (0.674770355224609 × 131072)
    floor (88443.5)     		ty = 88443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60397 / 88443 ti = "17/60397/88443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60397/88443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60397 ÷ 217
    60397 ÷ 131072     		x = 0.460792541503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88443 ÷ 217
    88443 ÷ 131072     		y = 0.674766540527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460792541503906 × 2 - 1) × π
    -0.0784149169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24634773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674766540527344 × 2 - 1) × π
    -0.349533081054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.09809055959663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24634773} λ = -0.24634773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09809055959663))-π/2
    2×atan(0.333507288398589)-π/2
    2×0.321907105784221-π/2
    0.643814211568443-1.57079632675     		φ = -0.92698212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24634773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.114685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92698212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.112163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60397 KachelY 88443 -0.24634773 -0.92698212 -14.114685 -53.112163
    Oben rechts KachelX + 1 60398 KachelY 88443 -0.24629979 -0.92698212 -14.111938 -53.112163
    Unten links KachelX 60397 KachelY + 1 88444 -0.24634773 -0.92701089 -14.114685 -53.113812
    Unten rechts KachelX + 1 60398 KachelY + 1 88444 -0.24629979 -0.92701089 -14.111938 -53.113812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92698212--0.92701089) × R
    2.87700000000113e-05 × 6371000     		dl = 183.293670000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92698212--0.92701089) × R
    2.87700000000113e-05 × 6371000     		dr = 183.293670000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24634773--0.24629979) × cos(-0.92698212) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.60025044898809 × 6371000     		do = 183.331937567506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24634773--0.24629979) × cos(-0.92701089) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.600227438145501 × 6371000     		du = 183.32490946388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92698212)-sin(-0.92701089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60025044898809-0.600227438145501)×R²
    abs(-0.24629979--0.24634773)×2.30108425886e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.30108425886e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.30108425886e-05×40589641000000     		ar = 33602.9395637324m²