Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60383 / 88413
↖ ↑ ↗
← S 53.062675°
W 14.153137°		 ← 183.50 m → S 53.062675°
W 14.150391°		 →
↑
183.55 m
↓
↑
183.55 m
↓
S 53.064326°
W 14.153137°		 ← 183.50 m →
33 681 m²		 S 53.064326°
W 14.150391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460689544677734 y=0.674541473388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460689544677734 × 217)
    floor (0.460689544677734 × 131072)
    floor (60383.5)     		tx = 60383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674541473388672 × 217)
    floor (0.674541473388672 × 131072)
    floor (88413.5)     		ty = 88413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60383 / 88413 ti = "17/60383/88413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60383/88413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60383 ÷ 217
    60383 ÷ 131072     		x = 0.460685729980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88413 ÷ 217
    88413 ÷ 131072     		y = 0.674537658691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460685729980469 × 2 - 1) × π
    -0.0786285400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24701884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674537658691406 × 2 - 1) × π
    -0.349075317382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.09665245260802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24701884} λ = -0.24701884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09665245260802))-π/2
    2×atan(0.333987252598)-π/2
    2×0.322338966234769-π/2
    0.644677932469539-1.57079632675     		φ = -0.92611839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24701884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.153137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92611839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.062675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60383 KachelY 88413 -0.24701884 -0.92611839 -14.153137 -53.062675
    Oben rechts KachelX + 1 60384 KachelY 88413 -0.24697091 -0.92611839 -14.150391 -53.062675
    Unten links KachelX 60383 KachelY + 1 88414 -0.24701884 -0.92614720 -14.153137 -53.064326
    Unten rechts KachelX + 1 60384 KachelY + 1 88414 -0.24697091 -0.92614720 -14.150391 -53.064326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92611839--0.92614720) × R
    2.88099999999902e-05 × 6371000     		dl = 183.548509999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92611839--0.92614720) × R
    2.88099999999902e-05 × 6371000     		dr = 183.548509999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24701884--0.24697091) × cos(-0.92611839) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.600941046706785 × 6371000     		do = 183.504577932715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24701884--0.24697091) × cos(-0.92614720) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.600918018815997 × 6371000     		du = 183.497546089237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92611839)-sin(-0.92614720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600941046706785-0.600918018815997)×R²
    abs(-0.24697091--0.24701884)×2.30278907881187e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.30278907881187e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.30278907881187e-05×40589641000000     		ar = 33681.3465179004m²