Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60334 / 89230
↖ ↑ ↗
← S 54.390154°
W 14.287720°		 ← 177.84 m → S 54.390154°
W 14.284973°		 →
↑
177.81 m
↓
↑
177.81 m
↓
S 54.391753°
W 14.287720°		 ← 177.83 m →
31 622 m²		 S 54.391753°
W 14.284973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460315704345703 y=0.680774688720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460315704345703 × 217)
    floor (0.460315704345703 × 131072)
    floor (60334.5)     		tx = 60334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680774688720703 × 217)
    floor (0.680774688720703 × 131072)
    floor (89230.5)     		ty = 89230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60334 / 89230 ti = "17/60334/89230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60334/89230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60334 ÷ 217
    60334 ÷ 131072     		x = 0.460311889648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89230 ÷ 217
    89230 ÷ 131072     		y = 0.680770874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460311889648438 × 2 - 1) × π
    -0.079376220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24936775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680770874023438 × 2 - 1) × π
    -0.361541748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13581689959761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24936775} λ = -0.24936775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13581689959761))-π/2
    2×atan(0.321159658950114)-π/2
    2×0.310754530435719-π/2
    0.621509060871438-1.57079632675     		φ = -0.94928727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24936775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.287720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94928727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.390154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60334 KachelY 89230 -0.24936775 -0.94928727 -14.287720 -54.390154
    Oben rechts KachelX + 1 60335 KachelY 89230 -0.24931981 -0.94928727 -14.284973 -54.390154
    Unten links KachelX 60334 KachelY + 1 89231 -0.24936775 -0.94931518 -14.287720 -54.391753
    Unten rechts KachelX + 1 60335 KachelY + 1 89231 -0.24931981 -0.94931518 -14.284973 -54.391753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94928727--0.94931518) × R
    2.79100000000199e-05 × 6371000     		dl = 177.814610000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94928727--0.94931518) × R
    2.79100000000199e-05 × 6371000     		dr = 177.814610000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24936775--0.24931981) × cos(-0.94928727) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.582262687304668 × 6371000     		do = 177.838012144403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24936775--0.24931981) × cos(-0.94931518) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.582239996227927 × 6371000     		du = 177.831081705498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94928727)-sin(-0.94931518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582262687304668-0.582239996227927)×R²
    abs(-0.24931981--0.24936775)×2.26910767412436e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.26910767412436e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.26910767412436e-05×40589641000000     		ar = 31621.5806079366m²