Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60212 / 88371
↖ ↑ ↗
← S 52.993297°
W 14.622803°		 ← 183.80 m → S 52.993297°
W 14.620056°		 →
↑
183.80 m
↓
↑
183.80 m
↓
S 52.994950°
W 14.622803°		 ← 183.79 m →
33 782 m²		 S 52.994950°
W 14.620056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459384918212891 y=0.674221038818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459384918212891 × 217)
    floor (0.459384918212891 × 131072)
    floor (60212.5)     		tx = 60212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674221038818359 × 217)
    floor (0.674221038818359 × 131072)
    floor (88371.5)     		ty = 88371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60212 / 88371 ti = "17/60212/88371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60212/88371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60212 ÷ 217
    60212 ÷ 131072     		x = 0.459381103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88371 ÷ 217
    88371 ÷ 131072     		y = 0.674217224121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459381103515625 × 2 - 1) × π
    -0.08123779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25521605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674217224121094 × 2 - 1) × π
    -0.348434448242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.09463910282398
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25521605} λ = -0.25521605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09463910282398))-π/2
    2×atan(0.334660363136994)-π/2
    2×0.322944405369774-π/2
    0.645888810739547-1.57079632675     		φ = -0.92490752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25521605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.622803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92490752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.993297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60212 KachelY 88371 -0.25521605 -0.92490752 -14.622803 -52.993297
    Oben rechts KachelX + 1 60213 KachelY 88371 -0.25516812 -0.92490752 -14.620056 -52.993297
    Unten links KachelX 60212 KachelY + 1 88372 -0.25521605 -0.92493637 -14.622803 -52.994950
    Unten rechts KachelX + 1 60213 KachelY + 1 88372 -0.25516812 -0.92493637 -14.620056 -52.994950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92490752--0.92493637) × R
    2.88499999999692e-05 × 6371000     		dl = 183.803349999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92490752--0.92493637) × R
    2.88499999999692e-05 × 6371000     		dr = 183.803349999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25521605--0.25516812) × cos(-0.92490752) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.601908446256578 × 6371000     		do = 183.799985023167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25521605--0.25516812) × cos(-0.92493637) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.601885407402894 × 6371000     		du = 183.792949832037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92490752)-sin(-0.92493637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601908446256578-0.601885407402894)×R²
    abs(-0.25516812--0.25521605)×2.30388536839321e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30388536839321e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30388536839321e-05×40589641000000     		ar = 33782.4064335702m²