Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60172 / 87304
↖ ↑ ↗
← S 51.193116°
W 14.732666°		 ← 191.41 m → S 51.193116°
W 14.729919°		 →
↑
191.38 m
↓
↑
191.38 m
↓
S 51.194837°
W 14.732666°		 ← 191.40 m →
36 632 m²		 S 51.194837°
W 14.729919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459079742431641 y=0.666080474853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459079742431641 × 217)
    floor (0.459079742431641 × 131072)
    floor (60172.5)     		tx = 60172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666080474853516 × 217)
    floor (0.666080474853516 × 131072)
    floor (87304.5)     		ty = 87304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60172 / 87304 ti = "17/60172/87304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60172/87304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60172 ÷ 217
    60172 ÷ 131072     		x = 0.459075927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87304 ÷ 217
    87304 ÷ 131072     		y = 0.66607666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459075927734375 × 2 - 1) × π
    -0.08184814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25713353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66607666015625 × 2 - 1) × π
    -0.3321533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04349043092938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25713353} λ = -0.25713353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04349043092938))-π/2
    2×atan(0.352223123390146)-π/2
    2×0.338653955720808-π/2
    0.677307911441615-1.57079632675     		φ = -0.89348842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25713353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.732666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89348842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.193116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60172 KachelY 87304 -0.25713353 -0.89348842 -14.732666 -51.193116
    Oben rechts KachelX + 1 60173 KachelY 87304 -0.25708559 -0.89348842 -14.729919 -51.193116
    Unten links KachelX 60172 KachelY + 1 87305 -0.25713353 -0.89351846 -14.732666 -51.194837
    Unten rechts KachelX + 1 60173 KachelY + 1 87305 -0.25708559 -0.89351846 -14.729919 -51.194837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89348842--0.89351846) × R
    3.00400000000645e-05 × 6371000     		dl = 191.384840000411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89348842--0.89351846) × R
    3.00400000000645e-05 × 6371000     		dr = 191.384840000411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25713353--0.25708559) × cos(-0.89348842) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.626697449769167 × 6371000     		do = 191.409532351957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25713353--0.25708559) × cos(-0.89351846) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.626674040435844 × 6371000     		du = 191.402382539004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89348842)-sin(-0.89351846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626697449769167-0.626674040435844)×R²
    abs(-0.25708559--0.25713353)×2.34093333233432e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34093333233432e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34093333233432e-05×40589641000000     		ar = 36632.198543478m²