Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60151 / 87353
↖ ↑ ↗
← S 51.277380°
W 14.790344°		 ← 191.02 m → S 51.277380°
W 14.787598°		 →
↑
191.07 m
↓
↑
191.07 m
↓
S 51.279099°
W 14.790344°		 ← 191.01 m →
36 497 m²		 S 51.279099°
W 14.787598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458919525146484 y=0.666454315185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458919525146484 × 217)
    floor (0.458919525146484 × 131072)
    floor (60151.5)     		tx = 60151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666454315185547 × 217)
    floor (0.666454315185547 × 131072)
    floor (87353.5)     		ty = 87353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60151 / 87353 ti = "17/60151/87353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60151/87353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60151 ÷ 217
    60151 ÷ 131072     		x = 0.458915710449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87353 ÷ 217
    87353 ÷ 131072     		y = 0.666450500488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458915710449219 × 2 - 1) × π
    -0.0821685791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25814020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666450500488281 × 2 - 1) × π
    -0.332901000976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.04583933901077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25814020} λ = -0.25814020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04583933901077))-π/2
    2×atan(0.351396754561324)-π/2
    2×0.337918601837046-π/2
    0.675837203674092-1.57079632675     		φ = -0.89495912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25814020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.790344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89495912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.277380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60151 KachelY 87353 -0.25814020 -0.89495912 -14.790344 -51.277380
    Oben rechts KachelX + 1 60152 KachelY 87353 -0.25809227 -0.89495912 -14.787598 -51.277380
    Unten links KachelX 60151 KachelY + 1 87354 -0.25814020 -0.89498911 -14.790344 -51.279099
    Unten rechts KachelX + 1 60152 KachelY + 1 87354 -0.25809227 -0.89498911 -14.787598 -51.279099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89495912--0.89498911) × R
    2.99900000000353e-05 × 6371000     		dl = 191.066290000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89495912--0.89498911) × R
    2.99900000000353e-05 × 6371000     		dr = 191.066290000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25814020--0.25809227) × cos(-0.89495912) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.62555071081565 × 6371000     		do = 191.019434922505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25814020--0.25809227) × cos(-0.89498911) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.625527312830899 × 6371000     		du = 191.012290066384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89495912)-sin(-0.89498911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62555071081565-0.625527312830899)×R²
    abs(-0.25809227--0.25814020)×2.3397984750817e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3397984750817e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3397984750817e-05×40589641000000     		ar = 36496.6921807782m²