Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59987 / 88463
↖ ↑ ↗
← S 53.145123°
W 15.240784°		 ← 183.19 m → S 53.145123°
W 15.238037°		 →
↑
183.17 m
↓
↑
183.17 m
↓
S 53.146770°
W 15.240784°		 ← 183.18 m →
33 554 m²		 S 53.146770°
W 15.238037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457668304443359 y=0.674922943115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457668304443359 × 217)
    floor (0.457668304443359 × 131072)
    floor (59987.5)     		tx = 59987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674922943115234 × 217)
    floor (0.674922943115234 × 131072)
    floor (88463.5)     		ty = 88463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59987 / 88463 ti = "17/59987/88463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59987/88463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59987 ÷ 217
    59987 ÷ 131072     		x = 0.457664489746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88463 ÷ 217
    88463 ÷ 131072     		y = 0.674919128417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457664489746094 × 2 - 1) × π
    -0.0846710205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26600186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674919128417969 × 2 - 1) × π
    -0.349838256835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.09904929758903
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26600186} λ = -0.26600186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09904929758903))-π/2
    2×atan(0.333187695517858)-π/2
    2×0.321619474636414-π/2
    0.643238949272827-1.57079632675     		φ = -0.92755738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26600186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.240784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92755738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.145123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59987 KachelY 88463 -0.26600186 -0.92755738 -15.240784 -53.145123
    Oben rechts KachelX + 1 59988 KachelY 88463 -0.26595392 -0.92755738 -15.238037 -53.145123
    Unten links KachelX 59987 KachelY + 1 88464 -0.26600186 -0.92758613 -15.240784 -53.146770
    Unten rechts KachelX + 1 59988 KachelY + 1 88464 -0.26595392 -0.92758613 -15.238037 -53.146770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92755738--0.92758613) × R
    2.87500000000218e-05 × 6371000     		dl = 183.166250000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92755738--0.92758613) × R
    2.87500000000218e-05 × 6371000     		dr = 183.166250000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26600186--0.26595392) × cos(-0.92755738) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599790249785018 × 6371000     		do = 183.191380885254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26600186--0.26595392) × cos(-0.92758613) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599767245015635 × 6371000     		du = 183.184354636542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92755738)-sin(-0.92758613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599790249785018-0.599767245015635)×R²
    abs(-0.26595392--0.26600186)×2.30047693828839e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30047693828839e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30047693828839e-05×40589641000000     		ar = 33553.834785729m²