Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59905 / 90625
↖ ↑ ↗
← S 56.560996°
W 15.466003°		 ← 168.30 m → S 56.560996°
W 15.463257°		 →
↑
168.26 m
↓
↑
168.26 m
↓
S 56.562509°
W 15.466003°		 ← 168.30 m →
28 318 m²		 S 56.562509°
W 15.463257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457042694091797 y=0.691417694091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457042694091797 × 217)
    floor (0.457042694091797 × 131072)
    floor (59905.5)     		tx = 59905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691417694091797 × 217)
    floor (0.691417694091797 × 131072)
    floor (90625.5)     		ty = 90625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59905 / 90625 ti = "17/59905/90625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59905/90625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59905 ÷ 217
    59905 ÷ 131072     		x = 0.457038879394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90625 ÷ 217
    90625 ÷ 131072     		y = 0.691413879394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457038879394531 × 2 - 1) × π
    -0.0859222412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26993268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691413879394531 × 2 - 1) × π
    -0.382827758789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.20268887456759
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26993268} λ = -0.26993268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20268887456759))-π/2
    2×atan(0.300385426304708)-π/2
    2×0.291810359071188-π/2
    0.583620718142375-1.57079632675     		φ = -0.98717561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26993268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.466003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98717561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.560996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59905 KachelY 90625 -0.26993268 -0.98717561 -15.466003 -56.560996
    Oben rechts KachelX + 1 59906 KachelY 90625 -0.26988474 -0.98717561 -15.463257 -56.560996
    Unten links KachelX 59905 KachelY + 1 90626 -0.26993268 -0.98720202 -15.466003 -56.562509
    Unten rechts KachelX + 1 59906 KachelY + 1 90626 -0.26988474 -0.98720202 -15.463257 -56.562509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98717561--0.98720202) × R
    2.64100000000322e-05 × 6371000     		dl = 168.258110000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98717561--0.98720202) × R
    2.64100000000322e-05 × 6371000     		dr = 168.258110000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26993268--0.26988474) × cos(-0.98717561) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.551048932358791 × 6371000     		do = 168.304527941783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26993268--0.26988474) × cos(-0.98720202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.551026893736486 × 6371000     		du = 168.297796779257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98717561)-sin(-0.98720202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551048932358791-0.551026893736486)×R²
    abs(-0.26988474--0.26993268)×2.20386223050983e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20386223050983e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20386223050983e-05×40589641000000     		ar = 28318.0354913457m²