Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59904 / 91648
↖ ↑ ↗
← S 58.077876°
W 15.468750°		 ← 161.50 m → S 58.077876°
W 15.466003°		 →
↑
161.50 m
↓
↑
161.50 m
↓
S 58.079329°
W 15.468750°		 ← 161.49 m →
26 082 m²		 S 58.079329°
W 15.466003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 91648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457035064697266 y=0.699222564697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457035064697266 × 217)
    floor (0.457035064697266 × 131072)
    floor (59904.5)     		tx = 59904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699222564697266 × 217)
    floor (0.699222564697266 × 131072)
    floor (91648.5)     		ty = 91648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59904 / 91648 ti = "17/59904/91648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59904/91648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59904 ÷ 217
    59904 ÷ 131072     		x = 0.45703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 91648 ÷ 217
    91648 ÷ 131072     		y = 0.69921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45703125 × 2 - 1) × π
    -0.0859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26998062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69921875 × 2 - 1) × π
    -0.3984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.25172832287891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26998062} λ = -0.26998062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25172832287891))-π/2
    2×atan(0.286010051727681)-π/2
    2×0.278573081686758-π/2
    0.557146163373516-1.57079632675     		φ = -1.01365016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26998062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01365016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.077876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59904 KachelY 91648 -0.26998062 -1.01365016 -15.468750 -58.077876
    Oben rechts KachelX + 1 59905 KachelY 91648 -0.26993268 -1.01365016 -15.466003 -58.077876
    Unten links KachelX 59904 KachelY + 1 91649 -0.26998062 -1.01367551 -15.468750 -58.079329
    Unten rechts KachelX + 1 59905 KachelY + 1 91649 -0.26993268 -1.01367551 -15.466003 -58.079329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01365016--1.01367551) × R
    2.5349999999813e-05 × 6371000     		dl = 161.504849998809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01365016--1.01367551) × R
    2.5349999999813e-05 × 6371000     		dr = 161.504849998809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26998062--0.26993268) × cos(-1.01365016) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.528766113348559 × 6371000     		do = 161.498781456489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26998062--0.26993268) × cos(-1.01367551) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.528744596920622 × 6371000     		du = 161.492209785564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01365016)-sin(-1.01367551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528766113348559-0.528744596920622)×R²
    abs(-0.26993268--0.26998062)×2.15164279373514e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.15164279373514e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.15164279373514e-05×40589641000000     		ar = 26082.3057972537m²