Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59791 / 89249
↖ ↑ ↗
← S 54.420528°
W 15.779114°		 ← 177.71 m → S 54.420528°
W 15.776367°		 →
↑
177.69 m
↓
↑
177.69 m
↓
S 54.422126°
W 15.779114°		 ← 177.70 m →
31 576 m²		 S 54.422126°
W 15.776367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456172943115234 y=0.680919647216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456172943115234 × 217)
    floor (0.456172943115234 × 131072)
    floor (59791.5)     		tx = 59791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680919647216797 × 217)
    floor (0.680919647216797 × 131072)
    floor (89249.5)     		ty = 89249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59791 / 89249 ti = "17/59791/89249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59791/89249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59791 ÷ 217
    59791 ÷ 131072     		x = 0.456169128417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89249 ÷ 217
    89249 ÷ 131072     		y = 0.680915832519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456169128417969 × 2 - 1) × π
    -0.0876617431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27539749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680915832519531 × 2 - 1) × π
    -0.361831665039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.13672770069039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27539749} λ = -0.27539749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13672770069039))-π/2
    2×atan(0.320867279551735)-π/2
    2×0.310489465850571-π/2
    0.620978931701142-1.57079632675     		φ = -0.94981740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27539749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.779114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94981740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.420528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59791 KachelY 89249 -0.27539749 -0.94981740 -15.779114 -54.420528
    Oben rechts KachelX + 1 59792 KachelY 89249 -0.27534955 -0.94981740 -15.776367 -54.420528
    Unten links KachelX 59791 KachelY + 1 89250 -0.27539749 -0.94984529 -15.779114 -54.422126
    Unten rechts KachelX + 1 59792 KachelY + 1 89250 -0.27534955 -0.94984529 -15.776367 -54.422126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94981740--0.94984529) × R
    2.78899999999194e-05 × 6371000     		dl = 177.687189999486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94981740--0.94984529) × R
    2.78899999999194e-05 × 6371000     		dr = 177.687189999486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27539749--0.27534955) × cos(-0.94981740) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.581831609436773 × 6371000     		do = 177.706349867707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27539749--0.27534955) × cos(-0.94984529) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.581808926014782 × 6371000     		du = 177.699421766759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94981740)-sin(-0.94984529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581831609436773-0.581808926014782)×R²
    abs(-0.27534955--0.27539749)×2.26834219911876e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26834219911876e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26834219911876e-05×40589641000000     		ar = 31575.5264375102m²