Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59759 / 86837
↖ ↑ ↗
← S 50.382254°
W 15.867004°		 ← 194.76 m → S 50.382254°
W 15.864258°		 →
↑
194.70 m
↓
↑
194.70 m
↓
S 50.384005°
W 15.867004°		 ← 194.75 m →
37 918 m²		 S 50.384005°
W 15.864258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455928802490234 y=0.662517547607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455928802490234 × 217)
    floor (0.455928802490234 × 131072)
    floor (59759.5)     		tx = 59759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662517547607422 × 217)
    floor (0.662517547607422 × 131072)
    floor (86837.5)     		ty = 86837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59759 / 86837 ti = "17/59759/86837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59759/86837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59759 ÷ 217
    59759 ÷ 131072     		x = 0.455924987792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86837 ÷ 217
    86837 ÷ 131072     		y = 0.662513732910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455924987792969 × 2 - 1) × π
    -0.0881500244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27693147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662513732910156 × 2 - 1) × π
    -0.325027465820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.02110389880682
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27693147} λ = -0.27693147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02110389880682))-π/2
    2×atan(0.360197099477213)-π/2
    2×0.345730055701391-π/2
    0.691460111402781-1.57079632675     		φ = -0.87933622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27693147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.867004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87933622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.382254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59759 KachelY 86837 -0.27693147 -0.87933622 -15.867004 -50.382254
    Oben rechts KachelX + 1 59760 KachelY 86837 -0.27688353 -0.87933622 -15.864258 -50.382254
    Unten links KachelX 59759 KachelY + 1 86838 -0.27693147 -0.87936678 -15.867004 -50.384005
    Unten rechts KachelX + 1 59760 KachelY + 1 86838 -0.27688353 -0.87936678 -15.864258 -50.384005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87933622--0.87936678) × R
    3.05600000000128e-05 × 6371000     		dl = 194.697760000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87933622--0.87936678) × R
    3.05600000000128e-05 × 6371000     		dr = 194.697760000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27693147--0.27688353) × cos(-0.87933622) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.637662604848416 × 6371000     		do = 194.758572956253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27693147--0.27688353) × cos(-0.87936678) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.637639063700393 × 6371000     		du = 194.751382883697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87933622)-sin(-0.87936678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637662604848416-0.637639063700393)×R²
    abs(-0.27688353--0.27693147)×2.35411480230541e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35411480230541e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35411480230541e-05×40589641000000     		ar = 37918.3579527574m²