Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59719 / 89315
↖ ↑ ↗
← S 54.525864°
W 15.976868°		 ← 177.25 m → S 54.525864°
W 15.974121°		 →
↑
177.24 m
↓
↑
177.24 m
↓
S 54.527458°
W 15.976868°		 ← 177.24 m →
31 415 m²		 S 54.527458°
W 15.974121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455623626708984 y=0.681423187255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455623626708984 × 217)
    floor (0.455623626708984 × 131072)
    floor (59719.5)     		tx = 59719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681423187255859 × 217)
    floor (0.681423187255859 × 131072)
    floor (89315.5)     		ty = 89315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59719 / 89315 ti = "17/59719/89315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59719/89315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59719 ÷ 217
    59719 ÷ 131072     		x = 0.455619812011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89315 ÷ 217
    89315 ÷ 131072     		y = 0.681419372558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455619812011719 × 2 - 1) × π
    -0.0887603759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27884895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681419372558594 × 2 - 1) × π
    -0.362838745117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.13989153606532
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27884895} λ = -0.27884895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13989153606532))-π/2
    2×atan(0.319853712527109)-π/2
    2×0.309570239821661-π/2
    0.619140479643322-1.57079632675     		φ = -0.95165585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27884895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.976868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95165585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.525864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59719 KachelY 89315 -0.27884895 -0.95165585 -15.976868 -54.525864
    Oben rechts KachelX + 1 59720 KachelY 89315 -0.27880101 -0.95165585 -15.974121 -54.525864
    Unten links KachelX 59719 KachelY + 1 89316 -0.27884895 -0.95168367 -15.976868 -54.527458
    Unten rechts KachelX + 1 59720 KachelY + 1 89316 -0.27880101 -0.95168367 -15.974121 -54.527458
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95165585--0.95168367) × R
    2.78200000000117e-05 × 6371000     		dl = 177.241220000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95165585--0.95168367) × R
    2.78200000000117e-05 × 6371000     		dr = 177.241220000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27884895--0.27880101) × cos(-0.95165585) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.5803353985752 × 6371000     		do = 177.249368557909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27884895--0.27880101) × cos(-0.95168367) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.580312742366653 × 6371000     		du = 177.242448768648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95165585)-sin(-0.95168367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5803353985752-0.580312742366653)×R²
    abs(-0.27880101--0.27884895)×2.26562085472448e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26562085472448e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26562085472448e-05×40589641000000     		ar = 31415.2810936048m²