Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59705 / 89399
↖ ↑ ↗
← S 54.659535°
W 16.015320°		 ← 176.67 m → S 54.659535°
W 16.012573°		 →
↑
176.67 m
↓
↑
176.67 m
↓
S 54.661124°
W 16.015320°		 ← 176.66 m →
31 211 m²		 S 54.661124°
W 16.012573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455516815185547 y=0.682064056396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455516815185547 × 217)
    floor (0.455516815185547 × 131072)
    floor (59705.5)     		tx = 59705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682064056396484 × 217)
    floor (0.682064056396484 × 131072)
    floor (89399.5)     		ty = 89399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59705 / 89399 ti = "17/59705/89399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59705/89399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59705 ÷ 217
    59705 ÷ 131072     		x = 0.455513000488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89399 ÷ 217
    89399 ÷ 131072     		y = 0.682060241699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455513000488281 × 2 - 1) × π
    -0.0889739990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27952006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682060241699219 × 2 - 1) × π
    -0.364120483398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.1439182356334
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27952006} λ = -0.27952006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1439182356334))-π/2
    2×atan(0.318568347347507)-π/2
    2×0.308403736404116-π/2
    0.616807472808233-1.57079632675     		φ = -0.95398885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27952006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.015320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95398885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.659535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59705 KachelY 89399 -0.27952006 -0.95398885 -16.015320 -54.659535
    Oben rechts KachelX + 1 59706 KachelY 89399 -0.27947212 -0.95398885 -16.012573 -54.659535
    Unten links KachelX 59705 KachelY + 1 89400 -0.27952006 -0.95401658 -16.015320 -54.661124
    Unten rechts KachelX + 1 59706 KachelY + 1 89400 -0.27947212 -0.95401658 -16.012573 -54.661124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95398885--0.95401658) × R
    2.77300000000036e-05 × 6371000     		dl = 176.667830000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95398885--0.95401658) × R
    2.77300000000036e-05 × 6371000     		dr = 176.667830000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27952006--0.27947212) × cos(-0.95398885) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.578433878080003 × 6371000     		do = 176.668595253743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27952006--0.27947212) × cos(-0.95401658) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.578411257684839 × 6371000     		du = 176.661686402811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95398885)-sin(-0.95401658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578433878080003-0.578411257684839)×R²
    abs(-0.27947212--0.27952006)×2.26203951632087e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26203951632087e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26203951632087e-05×40589641000000     		ar = 31211.0470687357m²