Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59650 / 89350
↖ ↑ ↗
← S 54.581613°
W 16.166382°		 ← 177.01 m → S 54.581613°
W 16.163635°		 →
↑
176.99 m
↓
↑
176.99 m
↓
S 54.583205°
W 16.166382°		 ← 177 m →
31 327 m²		 S 54.583205°
W 16.163635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455097198486328 y=0.681690216064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455097198486328 × 217)
    floor (0.455097198486328 × 131072)
    floor (59650.5)     		tx = 59650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681690216064453 × 217)
    floor (0.681690216064453 × 131072)
    floor (89350.5)     		ty = 89350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59650 / 89350 ti = "17/59650/89350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59650/89350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59650 ÷ 217
    59650 ÷ 131072     		x = 0.455093383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89350 ÷ 217
    89350 ÷ 131072     		y = 0.681686401367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455093383789062 × 2 - 1) × π
    -0.089813232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28215659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681686401367188 × 2 - 1) × π
    -0.363372802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.14156932755202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28215659} λ = -0.28215659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14156932755202))-π/2
    2×atan(0.319317514631156)-π/2
    2×0.309083731448427-π/2
    0.618167462896854-1.57079632675     		φ = -0.95262886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28215659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.166382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95262886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.581613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59650 KachelY 89350 -0.28215659 -0.95262886 -16.166382 -54.581613
    Oben rechts KachelX + 1 59651 KachelY 89350 -0.28210865 -0.95262886 -16.163635 -54.581613
    Unten links KachelX 59650 KachelY + 1 89351 -0.28215659 -0.95265664 -16.166382 -54.583205
    Unten rechts KachelX + 1 59651 KachelY + 1 89351 -0.28210865 -0.95265664 -16.163635 -54.583205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95262886--0.95265664) × R
    2.77800000000328e-05 × 6371000     		dl = 176.986380000209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95262886--0.95265664) × R
    2.77800000000328e-05 × 6371000     		dr = 176.986380000209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28215659--0.28210865) × cos(-0.95262886) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579542726465858 × 6371000     		do = 177.007266092336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28215659--0.28210865) × cos(-0.95265664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579520087157485 × 6371000     		du = 177.000351464823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95262886)-sin(-0.95265664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579542726465858-0.579520087157485)×R²
    abs(-0.28210865--0.28215659)×2.26393083737619e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26393083737619e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26393083737619e-05×40589641000000     		ar = 31327.2633639402m²