Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59648 / 89353
↖ ↑ ↗
← S 54.586388°
W 16.171875°		 ← 176.95 m → S 54.586388°
W 16.169129°		 →
↑
176.99 m
↓
↑
176.99 m
↓
S 54.587980°
W 16.171875°		 ← 176.94 m →
31 317 m²		 S 54.587980°
W 16.169129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455081939697266 y=0.681713104248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455081939697266 × 217)
    floor (0.455081939697266 × 131072)
    floor (59648.5)     		tx = 59648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681713104248047 × 217)
    floor (0.681713104248047 × 131072)
    floor (89353.5)     		ty = 89353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59648 / 89353 ti = "17/59648/89353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59648/89353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59648 ÷ 217
    59648 ÷ 131072     		x = 0.455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89353 ÷ 217
    89353 ÷ 131072     		y = 0.681709289550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455078125 × 2 - 1) × π
    -0.08984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28225246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681709289550781 × 2 - 1) × π
    -0.363418579101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.14171313825088
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28225246} λ = -0.28225246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14171313825088))-π/2
    2×atan(0.319271596658045)-π/2
    2×0.309042061668289-π/2
    0.618084123336578-1.57079632675     		φ = -0.95271220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28225246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.171875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95271220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.586388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59648 KachelY 89353 -0.28225246 -0.95271220 -16.171875 -54.586388
    Oben rechts KachelX + 1 59649 KachelY 89353 -0.28220453 -0.95271220 -16.169129 -54.586388
    Unten links KachelX 59648 KachelY + 1 89354 -0.28225246 -0.95273998 -16.171875 -54.587980
    Unten rechts KachelX + 1 59649 KachelY + 1 89354 -0.28220453 -0.95273998 -16.169129 -54.587980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95271220--0.95273998) × R
    2.77800000000328e-05 × 6371000     		dl = 176.986380000209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95271220--0.95273998) × R
    2.77800000000328e-05 × 6371000     		dr = 176.986380000209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28225246--0.28220453) × cos(-0.95271220) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.579474807199058 × 6371000     		do = 176.949603460066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28225246--0.28220453) × cos(-0.95273998) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.579452166549041 × 6371000     		du = 176.942689865217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95271220)-sin(-0.95273998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579474807199058-0.579452166549041)×R²
    abs(-0.28220453--0.28225246)×2.2640650017669e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.2640650017669e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.2640650017669e-05×40589641000000     		ar = 31317.0579546628m²