Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59647 / 89352
↖ ↑ ↗
← S 54.584796°
W 16.174621°		 ← 176.99 m → S 54.584796°
W 16.171875°		 →
↑
176.99 m
↓
↑
176.99 m
↓
S 54.586388°
W 16.174621°		 ← 176.99 m →
31 325 m²		 S 54.586388°
W 16.171875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455074310302734 y=0.681705474853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455074310302734 × 217)
    floor (0.455074310302734 × 131072)
    floor (59647.5)     		tx = 59647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681705474853516 × 217)
    floor (0.681705474853516 × 131072)
    floor (89352.5)     		ty = 89352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59647 / 89352 ti = "17/59647/89352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59647/89352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59647 ÷ 217
    59647 ÷ 131072     		x = 0.455070495605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89352 ÷ 217
    89352 ÷ 131072     		y = 0.68170166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455070495605469 × 2 - 1) × π
    -0.0898590087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28230040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68170166015625 × 2 - 1) × π
    -0.3634033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.14166520135126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28230040} λ = -0.28230040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14166520135126))-π/2
    2×atan(0.319286901915366)-π/2
    2×0.309055951052367-π/2
    0.618111902104733-1.57079632675     		φ = -0.95268442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28230040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.174621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95268442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.584796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59647 KachelY 89352 -0.28230040 -0.95268442 -16.174621 -54.584796
    Oben rechts KachelX + 1 59648 KachelY 89352 -0.28225246 -0.95268442 -16.171875 -54.584796
    Unten links KachelX 59647 KachelY + 1 89353 -0.28230040 -0.95271220 -16.174621 -54.586388
    Unten rechts KachelX + 1 59648 KachelY + 1 89353 -0.28225246 -0.95271220 -16.171875 -54.586388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95268442--0.95271220) × R
    2.77800000000328e-05 × 6371000     		dl = 176.986380000209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95268442--0.95271220) × R
    2.77800000000328e-05 × 6371000     		dr = 176.986380000209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28230040--0.28225246) × cos(-0.95268442) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.579497447401879 × 6371000     		do = 176.993436700919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28230040--0.28225246) × cos(-0.95271220) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.579474807199058 × 6371000     		du = 176.986521800219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95268442)-sin(-0.95271220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579497447401879-0.579474807199058)×R²
    abs(-0.28225246--0.28230040)×2.26402028205008e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26402028205008e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26402028205008e-05×40589641000000     		ar = 31324.8157260738m²