Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59646 / 86959
↖ ↑ ↗
← S 50.595443°
W 16.177368°		 ← 193.88 m → S 50.595443°
W 16.174621°		 →
↑
193.87 m
↓
↑
193.87 m
↓
S 50.597186°
W 16.177368°		 ← 193.87 m →
37 587 m²		 S 50.597186°
W 16.174621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455066680908203 y=0.663448333740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455066680908203 × 217)
    floor (0.455066680908203 × 131072)
    floor (59646.5)     		tx = 59646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663448333740234 × 217)
    floor (0.663448333740234 × 131072)
    floor (86959.5)     		ty = 86959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59646 / 86959 ti = "17/59646/86959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59646/86959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59646 ÷ 217
    59646 ÷ 131072     		x = 0.455062866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86959 ÷ 217
    86959 ÷ 131072     		y = 0.663444519042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455062866210938 × 2 - 1) × π
    -0.089874267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28234834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663444519042969 × 2 - 1) × π
    -0.326889038085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.02695220056046
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28234834} λ = -0.28234834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02695220056046))-π/2
    2×atan(0.358096706002681)-π/2
    2×0.343869632120302-π/2
    0.687739264240605-1.57079632675     		φ = -0.88305706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28234834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.177368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88305706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.595443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59646 KachelY 86959 -0.28234834 -0.88305706 -16.177368 -50.595443
    Oben rechts KachelX + 1 59647 KachelY 86959 -0.28230040 -0.88305706 -16.174621 -50.595443
    Unten links KachelX 59646 KachelY + 1 86960 -0.28234834 -0.88308749 -16.177368 -50.597186
    Unten rechts KachelX + 1 59647 KachelY + 1 86960 -0.28230040 -0.88308749 -16.174621 -50.597186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88305706--0.88308749) × R
    3.04300000000257e-05 × 6371000     		dl = 193.869530000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88305706--0.88308749) × R
    3.04300000000257e-05 × 6371000     		dr = 193.869530000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28234834--0.28230040) × cos(-0.88305706) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.634791975588872 × 6371000     		do = 193.881808890166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28234834--0.28230040) × cos(-0.88308749) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.634768462548737 × 6371000     		du = 193.874627402483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88305706)-sin(-0.88308749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634791975588872-0.634768462548737)×R²
    abs(-0.28230040--0.28234834)×2.3513040135148e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3513040135148e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3513040135148e-05×40589641000000     		ar = 37587.0790323854m²