Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59644 / 89349
↖ ↑ ↗
← S 54.580021°
W 16.182861°		 ← 176.98 m → S 54.580021°
W 16.180115°		 →
↑
176.99 m
↓
↑
176.99 m
↓
S 54.581613°
W 16.182861°		 ← 176.97 m →
31 322 m²		 S 54.581613°
W 16.180115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455051422119141 y=0.681682586669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455051422119141 × 217)
    floor (0.455051422119141 × 131072)
    floor (59644.5)     		tx = 59644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681682586669922 × 217)
    floor (0.681682586669922 × 131072)
    floor (89349.5)     		ty = 89349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59644 / 89349 ti = "17/59644/89349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59644/89349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59644 ÷ 217
    59644 ÷ 131072     		x = 0.455047607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89349 ÷ 217
    89349 ÷ 131072     		y = 0.681678771972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455047607421875 × 2 - 1) × π
    -0.08990478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28244421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681678771972656 × 2 - 1) × π
    -0.363357543945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.1415213906524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28244421} λ = -0.28244421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1415213906524))-π/2
    2×atan(0.319332822089694)-π/2
    2×0.309097622460431-π/2
    0.618195244920862-1.57079632675     		φ = -0.95260108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28244421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.182861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95260108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.580021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59644 KachelY 89349 -0.28244421 -0.95260108 -16.182861 -54.580021
    Oben rechts KachelX + 1 59645 KachelY 89349 -0.28239628 -0.95260108 -16.180115 -54.580021
    Unten links KachelX 59644 KachelY + 1 89350 -0.28244421 -0.95262886 -16.182861 -54.581613
    Unten rechts KachelX + 1 59645 KachelY + 1 89350 -0.28239628 -0.95262886 -16.180115 -54.581613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95260108--0.95262886) × R
    2.77800000000328e-05 × 6371000     		dl = 176.986380000209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95260108--0.95262886) × R
    2.77800000000328e-05 × 6371000     		dr = 176.986380000209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28244421--0.28239628) × cos(-0.95260108) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.579565365326982 × 6371000     		do = 176.977256473842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28244421--0.28239628) × cos(-0.95262886) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.579542726465858 × 6371000     		du = 176.970343425253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95260108)-sin(-0.95262886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579565365326982-0.579542726465858)×R²
    abs(-0.28239628--0.28244421)×2.26388611240802e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.26388611240802e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.26388611240802e-05×40589641000000     		ar = 31321.9522099906m²