Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59637 / 89557
↖ ↑ ↗
← S 54.909778°
W 16.202087°		 ← 175.58 m → S 54.909778°
W 16.199341°		 →
↑
175.58 m
↓
↑
175.58 m
↓
S 54.911357°
W 16.202087°		 ← 175.57 m →
30 828 m²		 S 54.911357°
W 16.199341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454998016357422 y=0.683269500732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454998016357422 × 217)
    floor (0.454998016357422 × 131072)
    floor (59637.5)     		tx = 59637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683269500732422 × 217)
    floor (0.683269500732422 × 131072)
    floor (89557.5)     		ty = 89557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59637 / 89557 ti = "17/59637/89557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59637/89557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59637 ÷ 217
    59637 ÷ 131072     		x = 0.454994201660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89557 ÷ 217
    89557 ÷ 131072     		y = 0.683265686035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454994201660156 × 2 - 1) × π
    -0.0900115966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28277977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683265686035156 × 2 - 1) × π
    -0.366531372070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.15149226577337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28277977} λ = -0.28277977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15149226577337))-π/2
    2×atan(0.316164615542642)-π/2
    2×0.306219958605477-π/2
    0.612439917210954-1.57079632675     		φ = -0.95835641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28277977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.202087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95835641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.909778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59637 KachelY 89557 -0.28277977 -0.95835641 -16.202087 -54.909778
    Oben rechts KachelX + 1 59638 KachelY 89557 -0.28273183 -0.95835641 -16.199341 -54.909778
    Unten links KachelX 59637 KachelY + 1 89558 -0.28277977 -0.95838397 -16.202087 -54.911357
    Unten rechts KachelX + 1 59638 KachelY + 1 89558 -0.28273183 -0.95838397 -16.199341 -54.911357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95835641--0.95838397) × R
    2.75599999999265e-05 × 6371000     		dl = 175.584759999532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95835641--0.95838397) × R
    2.75599999999265e-05 × 6371000     		dr = 175.584759999532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28277977--0.28273183) × cos(-0.95835641) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.574865625886147 × 6371000     		do = 175.578759186725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28277977--0.28273183) × cos(-0.95838397) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.57484307475762 × 6371000     		du = 175.571871491606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95835641)-sin(-0.95838397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574865625886147-0.57484307475762)×R²
    abs(-0.28273183--0.28277977)×2.25511285272262e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25511285272262e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25511285272262e-05×40589641000000     		ar = 30828.3496076625m²