Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59606 / 89447
↖ ↑ ↗
← S 54.735722°
W 16.287231°		 ← 176.30 m → S 54.735722°
W 16.284485°		 →
↑
176.35 m
↓
↑
176.35 m
↓
S 54.737308°
W 16.287231°		 ← 176.29 m →
31 090 m²		 S 54.737308°
W 16.284485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454761505126953 y=0.682430267333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454761505126953 × 217)
    floor (0.454761505126953 × 131072)
    floor (59606.5)     		tx = 59606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682430267333984 × 217)
    floor (0.682430267333984 × 131072)
    floor (89447.5)     		ty = 89447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59606 / 89447 ti = "17/59606/89447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59606/89447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59606 ÷ 217
    59606 ÷ 131072     		x = 0.454757690429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89447 ÷ 217
    89447 ÷ 131072     		y = 0.682426452636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454757690429688 × 2 - 1) × π
    -0.090484619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28426581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682426452636719 × 2 - 1) × π
    -0.364852905273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.14621920681516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28426581} λ = -0.28426581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14621920681516))-π/2
    2×atan(0.31783617343941)-π/2
    2×0.307738880913999-π/2
    0.615477761827999-1.57079632675     		φ = -0.95531856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28426581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.287231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95531856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.735722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59606 KachelY 89447 -0.28426581 -0.95531856 -16.287231 -54.735722
    Oben rechts KachelX + 1 59607 KachelY 89447 -0.28421788 -0.95531856 -16.284485 -54.735722
    Unten links KachelX 59606 KachelY + 1 89448 -0.28426581 -0.95534624 -16.287231 -54.737308
    Unten rechts KachelX + 1 59607 KachelY + 1 89448 -0.28421788 -0.95534624 -16.284485 -54.737308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95531856--0.95534624) × R
    2.76799999999744e-05 × 6371000     		dl = 176.349279999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95531856--0.95534624) × R
    2.76799999999744e-05 × 6371000     		dr = 176.349279999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28426581--0.28421788) × cos(-0.95531856) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.577348683653838 × 6371000     		do = 176.300366058472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28426581--0.28421788) × cos(-0.95534624) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.577326082776271 × 6371000     		du = 176.293464608618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95531856)-sin(-0.95534624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577348683653838-0.577326082776271)×R²
    abs(-0.28421788--0.28426581)×2.26008775675579e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26008775675579e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26008775675579e-05×40589641000000     		ar = 31089.8340872571m²