Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59571 / 89471
↖ ↑ ↗
← S 54.773761°
W 16.383362°		 ← 176.17 m → S 54.773761°
W 16.380615°		 →
↑
176.16 m
↓
↑
176.16 m
↓
S 54.775346°
W 16.383362°		 ← 176.16 m →
31 033 m²		 S 54.775346°
W 16.380615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454494476318359 y=0.682613372802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454494476318359 × 217)
    floor (0.454494476318359 × 131072)
    floor (59571.5)     		tx = 59571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682613372802734 × 217)
    floor (0.682613372802734 × 131072)
    floor (89471.5)     		ty = 89471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59571 / 89471 ti = "17/59571/89471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59571/89471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59571 ÷ 217
    59571 ÷ 131072     		x = 0.454490661621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89471 ÷ 217
    89471 ÷ 131072     		y = 0.682609558105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454490661621094 × 2 - 1) × π
    -0.0910186767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28594361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682609558105469 × 2 - 1) × π
    -0.365219116210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.14736969240604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28594361} λ = -0.28594361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14736969240604))-π/2
    2×atan(0.317470717767659)-π/2
    2×0.30740692121072-π/2
    0.614813842421439-1.57079632675     		φ = -0.95598248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28594361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.383362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95598248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.773761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59571 KachelY 89471 -0.28594361 -0.95598248 -16.383362 -54.773761
    Oben rechts KachelX + 1 59572 KachelY 89471 -0.28589567 -0.95598248 -16.380615 -54.773761
    Unten links KachelX 59571 KachelY + 1 89472 -0.28594361 -0.95601013 -16.383362 -54.775346
    Unten rechts KachelX + 1 59572 KachelY + 1 89472 -0.28589567 -0.95601013 -16.380615 -54.775346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95598248--0.95601013) × R
    2.76500000000457e-05 × 6371000     		dl = 176.158150000291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95598248--0.95601013) × R
    2.76500000000457e-05 × 6371000     		dr = 176.158150000291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28594361--0.28589567) × cos(-0.95598248) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.576806467294615 × 6371000     		do = 176.171542110332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28594361--0.28589567) × cos(-0.95601013) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.576783880319027 × 6371000     		du = 176.164643466599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95598248)-sin(-0.95601013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576806467294615-0.576783880319027)×R²
    abs(-0.28589567--0.28594361)×2.25869755875463e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25869755875463e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25869755875463e-05×40589641000000     		ar = 31033.4453167291m²