Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59571 / 89390
↖ ↑ ↗
← S 54.645234°
W 16.383362°		 ← 176.73 m → S 54.645234°
W 16.380615°		 →
↑
176.67 m
↓
↑
176.67 m
↓
S 54.646823°
W 16.383362°		 ← 176.72 m →
31 222 m²		 S 54.646823°
W 16.380615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454494476318359 y=0.681995391845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454494476318359 × 217)
    floor (0.454494476318359 × 131072)
    floor (59571.5)     		tx = 59571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681995391845703 × 217)
    floor (0.681995391845703 × 131072)
    floor (89390.5)     		ty = 89390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59571 / 89390 ti = "17/59571/89390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59571/89390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59571 ÷ 217
    59571 ÷ 131072     		x = 0.454490661621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89390 ÷ 217
    89390 ÷ 131072     		y = 0.681991577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454490661621094 × 2 - 1) × π
    -0.0910186767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28594361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681991577148438 × 2 - 1) × π
    -0.363983154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.14348680353682
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28594361} λ = -0.28594361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14348680353682))-π/2
    2×atan(0.318705817609917)-π/2
    2×0.308528535831651-π/2
    0.617057071663302-1.57079632675     		φ = -0.95373926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28594361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.383362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95373926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.645234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59571 KachelY 89390 -0.28594361 -0.95373926 -16.383362 -54.645234
    Oben rechts KachelX + 1 59572 KachelY 89390 -0.28589567 -0.95373926 -16.380615 -54.645234
    Unten links KachelX 59571 KachelY + 1 89391 -0.28594361 -0.95376699 -16.383362 -54.646823
    Unten rechts KachelX + 1 59572 KachelY + 1 89391 -0.28589567 -0.95376699 -16.380615 -54.646823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95373926--0.95376699) × R
    2.77300000000036e-05 × 6371000     		dl = 176.667830000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95373926--0.95376699) × R
    2.77300000000036e-05 × 6371000     		dr = 176.667830000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28594361--0.28589567) × cos(-0.95373926) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.578637457930604 × 6371000     		do = 176.730773780262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28594361--0.28589567) × cos(-0.95376699) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.578614841539483 × 6371000     		du = 176.723866152268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95373926)-sin(-0.95376699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578637457930604-0.578614841539483)×R²
    abs(-0.28589567--0.28594361)×2.26163911204447e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26163911204447e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26163911204447e-05×40589641000000     		ar = 31222.0321220958m²