Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59563 / 89512
↖ ↑ ↗
← S 54.838664°
W 16.405334°		 ← 175.89 m → S 54.838664°
W 16.402588°		 →
↑
175.84 m
↓
↑
175.84 m
↓
S 54.840245°
W 16.405334°		 ← 175.88 m →
30 928 m²		 S 54.840245°
W 16.402588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454433441162109 y=0.682926177978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454433441162109 × 217)
    floor (0.454433441162109 × 131072)
    floor (59563.5)     		tx = 59563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682926177978516 × 217)
    floor (0.682926177978516 × 131072)
    floor (89512.5)     		ty = 89512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59563 / 89512 ti = "17/59563/89512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59563/89512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59563 ÷ 217
    59563 ÷ 131072     		x = 0.454429626464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89512 ÷ 217
    89512 ÷ 131072     		y = 0.68292236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454429626464844 × 2 - 1) × π
    -0.0911407470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28632710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68292236328125 × 2 - 1) × π
    -0.3658447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.14933510529047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28632710} λ = -0.28632710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14933510529047))-π/2
    2×atan(0.316847369497551)-π/2
    2×0.306840544686895-π/2
    0.613681089373789-1.57079632675     		φ = -0.95711524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28632710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.405334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95711524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.838664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59563 KachelY 89512 -0.28632710 -0.95711524 -16.405334 -54.838664
    Oben rechts KachelX + 1 59564 KachelY 89512 -0.28627916 -0.95711524 -16.402588 -54.838664
    Unten links KachelX 59563 KachelY + 1 89513 -0.28632710 -0.95714284 -16.405334 -54.840245
    Unten rechts KachelX + 1 59564 KachelY + 1 89513 -0.28627916 -0.95714284 -16.402588 -54.840245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95711524--0.95714284) × R
    2.76000000000165e-05 × 6371000     		dl = 175.839600000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95711524--0.95714284) × R
    2.76000000000165e-05 × 6371000     		dr = 175.839600000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28632710--0.28627916) × cos(-0.95711524) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.575880767494175 × 6371000     		do = 175.888809563765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28632710--0.28627916) × cos(-0.95714284) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.575858203344869 × 6371000     		du = 175.881917891765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95711524)-sin(-0.95714284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575880767494175-0.575858203344869)×R²
    abs(-0.28627916--0.28632710)×2.25641493066808e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25641493066808e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25641493066808e-05×40589641000000     		ar = 30927.6120058604m²