Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59537 / 89445
↖ ↑ ↗
← S 54.732550°
W 16.476746°		 ← 176.35 m → S 54.732550°
W 16.473999°		 →
↑
176.35 m
↓
↑
176.35 m
↓
S 54.734136°
W 16.476746°		 ← 176.34 m →
31 099 m²		 S 54.734136°
W 16.473999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454235076904297 y=0.682415008544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454235076904297 × 217)
    floor (0.454235076904297 × 131072)
    floor (59537.5)     		tx = 59537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682415008544922 × 217)
    floor (0.682415008544922 × 131072)
    floor (89445.5)     		ty = 89445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59537 / 89445 ti = "17/59537/89445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59537/89445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59537 ÷ 217
    59537 ÷ 131072     		x = 0.454231262207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89445 ÷ 217
    89445 ÷ 131072     		y = 0.682411193847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454231262207031 × 2 - 1) × π
    -0.0915374755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28757346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682411193847656 × 2 - 1) × π
    -0.364822387695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.14612333301592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28757346} λ = -0.28757346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14612333301592))-π/2
    2×atan(0.317866647061681)-π/2
    2×0.307766558302974-π/2
    0.615533116605948-1.57079632675     		φ = -0.95526321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28757346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.476746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95526321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.732550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59537 KachelY 89445 -0.28757346 -0.95526321 -16.476746 -54.732550
    Oben rechts KachelX + 1 59538 KachelY 89445 -0.28752552 -0.95526321 -16.473999 -54.732550
    Unten links KachelX 59537 KachelY + 1 89446 -0.28757346 -0.95529089 -16.476746 -54.734136
    Unten rechts KachelX + 1 59538 KachelY + 1 89446 -0.28752552 -0.95529089 -16.473999 -54.734136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95526321--0.95529089) × R
    2.76799999999744e-05 × 6371000     		dl = 176.349279999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95526321--0.95529089) × R
    2.76799999999744e-05 × 6371000     		dr = 176.349279999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28757346--0.28752552) × cos(-0.95526321) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.577393875917236 × 6371000     		do = 176.350951823578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28757346--0.28752552) × cos(-0.95529089) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.577371275924234 × 6371000     		du = 176.344049203992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95526321)-sin(-0.95529089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577393875917236-0.577371275924234)×R²
    abs(-0.28752552--0.28757346)×2.25999930012488e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25999930012488e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25999930012488e-05×40589641000000     		ar = 31098.754747451m²