Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59534 / 89450
↖ ↑ ↗
← S 54.740479°
W 16.484985°		 ← 176.32 m → S 54.740479°
W 16.482239°		 →
↑
176.29 m
↓
↑
176.29 m
↓
S 54.742064°
W 16.484985°		 ← 176.31 m →
31 081 m²		 S 54.742064°
W 16.482239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454212188720703 y=0.682453155517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454212188720703 × 217)
    floor (0.454212188720703 × 131072)
    floor (59534.5)     		tx = 59534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682453155517578 × 217)
    floor (0.682453155517578 × 131072)
    floor (89450.5)     		ty = 89450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59534 / 89450 ti = "17/59534/89450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59534/89450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59534 ÷ 217
    59534 ÷ 131072     		x = 0.454208374023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89450 ÷ 217
    89450 ÷ 131072     		y = 0.682449340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454208374023438 × 2 - 1) × π
    -0.091583251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28771727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682449340820312 × 2 - 1) × π
    -0.364898681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.14636301751402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28771727} λ = -0.28771727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14636301751402))-π/2
    2×atan(0.317790468483694)-π/2
    2×0.307697368892739-π/2
    0.615394737785478-1.57079632675     		φ = -0.95540159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28771727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.484985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95540159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.740479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59534 KachelY 89450 -0.28771727 -0.95540159 -16.484985 -54.740479
    Oben rechts KachelX + 1 59535 KachelY 89450 -0.28766933 -0.95540159 -16.482239 -54.740479
    Unten links KachelX 59534 KachelY + 1 89451 -0.28771727 -0.95542926 -16.484985 -54.742064
    Unten rechts KachelX + 1 59535 KachelY + 1 89451 -0.28766933 -0.95542926 -16.482239 -54.742064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95540159--0.95542926) × R
    2.76699999999241e-05 × 6371000     		dl = 176.285569999517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95540159--0.95542926) × R
    2.76699999999241e-05 × 6371000     		dr = 176.285569999517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28771727--0.28766933) × cos(-0.95540159) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.577280887859598 × 6371000     		do = 176.316442362463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28771727--0.28766933) × cos(-0.95542926) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.577258293820847 × 6371000     		du = 176.309541561458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95540159)-sin(-0.95542926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577280887859598-0.577258293820847)×R²
    abs(-0.28766933--0.28771727)×2.25940387509338e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25940387509338e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25940387509338e-05×40589641000000     		ar = 31081.436288181m²