Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59497 / 89433
↖ ↑ ↗
← S 54.713515°
W 16.586609°		 ← 176.43 m → S 54.713515°
W 16.583862°		 →
↑
176.41 m
↓
↑
176.41 m
↓
S 54.715102°
W 16.586609°		 ← 176.43 m →
31 125 m²		 S 54.715102°
W 16.583862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453929901123047 y=0.682323455810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453929901123047 × 217)
    floor (0.453929901123047 × 131072)
    floor (59497.5)     		tx = 59497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682323455810547 × 217)
    floor (0.682323455810547 × 131072)
    floor (89433.5)     		ty = 89433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59497 / 89433 ti = "17/59497/89433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59497/89433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59497 ÷ 217
    59497 ÷ 131072     		x = 0.453926086425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89433 ÷ 217
    89433 ÷ 131072     		y = 0.682319641113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453926086425781 × 2 - 1) × π
    -0.0921478271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28949094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682319641113281 × 2 - 1) × π
    -0.364639282226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.14554809022048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28949094} λ = -0.28949094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14554809022048))-π/2
    2×atan(0.318049550162116)-π/2
    2×0.307932668138522-π/2
    0.615865336277044-1.57079632675     		φ = -0.95493099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28949094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.586609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95493099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.713515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59497 KachelY 89433 -0.28949094 -0.95493099 -16.586609 -54.713515
    Oben rechts KachelX + 1 59498 KachelY 89433 -0.28944300 -0.95493099 -16.583862 -54.713515
    Unten links KachelX 59497 KachelY + 1 89434 -0.28949094 -0.95495868 -16.586609 -54.715102
    Unten rechts KachelX + 1 59498 KachelY + 1 89434 -0.28944300 -0.95495868 -16.583862 -54.715102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95493099--0.95495868) × R
    2.76899999999136e-05 × 6371000     		dl = 176.41298999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95493099--0.95495868) × R
    2.76899999999136e-05 × 6371000     		dr = 176.41298999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28949094--0.28944300) × cos(-0.95493099) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.577665090298389 × 6371000     		do = 176.433787676436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28949094--0.28944300) × cos(-0.95495868) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.577642487453259 × 6371000     		du = 176.426884185737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95493099)-sin(-0.95495868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577665090298389-0.577642487453259)×R²
    abs(-0.28944300--0.28949094)×2.26028451294491e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26028451294491e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26028451294491e-05×40589641000000     		ar = 31124.6030903094m²