Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59460 / 90188
↖ ↑ ↗
← S 55.893796°
W 16.688232°		 ← 171.23 m → S 55.893796°
W 16.685486°		 →
↑
171.25 m
↓
↑
171.25 m
↓
S 55.895337°
W 16.688232°		 ← 171.22 m →
29 322 m²		 S 55.895337°
W 16.685486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453647613525391 y=0.688083648681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453647613525391 × 217)
    floor (0.453647613525391 × 131072)
    floor (59460.5)     		tx = 59460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688083648681641 × 217)
    floor (0.688083648681641 × 131072)
    floor (90188.5)     		ty = 90188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59460 / 90188 ti = "17/59460/90188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59460/90188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59460 ÷ 217
    59460 ÷ 131072     		x = 0.453643798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90188 ÷ 217
    90188 ÷ 131072     		y = 0.688079833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453643798828125 × 2 - 1) × π
    -0.09271240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29126460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688079833984375 × 2 - 1) × π
    -0.37615966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.18174044943362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29126460} λ = -0.29126460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18174044943362))-π/2
    2×atan(0.306744400623566)-π/2
    2×0.297632775108232-π/2
    0.595265550216465-1.57079632675     		φ = -0.97553078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29126460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.688232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97553078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.893796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59460 KachelY 90188 -0.29126460 -0.97553078 -16.688232 -55.893796
    Oben rechts KachelX + 1 59461 KachelY 90188 -0.29121667 -0.97553078 -16.685486 -55.893796
    Unten links KachelX 59460 KachelY + 1 90189 -0.29126460 -0.97555766 -16.688232 -55.895337
    Unten rechts KachelX + 1 59461 KachelY + 1 90189 -0.29121667 -0.97555766 -16.685486 -55.895337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97553078--0.97555766) × R
    2.68799999999514e-05 × 6371000     		dl = 171.25247999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97553078--0.97555766) × R
    2.68799999999514e-05 × 6371000     		dr = 171.25247999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29126460--0.29121667) × cos(-0.97553078) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.56072864691356 × 6371000     		do = 171.225237900584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29126460--0.29121667) × cos(-0.97555766) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.56070639008098 × 6371000     		du = 171.218441509006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97553078)-sin(-0.97555766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56072864691356-0.56070639008098)×R²
    abs(-0.29121667--0.29126460)×2.22568325799477e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.22568325799477e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.22568325799477e-05×40589641000000     		ar = 29322.1646813558m²