Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59399 / 87028
↖ ↑ ↗
← S 50.715591°
W 16.855774°		 ← 193.35 m → S 50.715591°
W 16.853028°		 →
↑
193.36 m
↓
↑
193.36 m
↓
S 50.717330°
W 16.855774°		 ← 193.34 m →
37 385 m²		 S 50.717330°
W 16.853028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453182220458984 y=0.663974761962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453182220458984 × 217)
    floor (0.453182220458984 × 131072)
    floor (59399.5)     		tx = 59399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663974761962891 × 217)
    floor (0.663974761962891 × 131072)
    floor (87028.5)     		ty = 87028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59399 / 87028 ti = "17/59399/87028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59399/87028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59399 ÷ 217
    59399 ÷ 131072     		x = 0.453178405761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87028 ÷ 217
    87028 ÷ 131072     		y = 0.663970947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453178405761719 × 2 - 1) × π
    -0.0936431884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29418875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663970947265625 × 2 - 1) × π
    -0.32794189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03025984663425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29418875} λ = -0.29418875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03025984663425))-π/2
    2×atan(0.356914205563601)-π/2
    2×0.342821139719939-π/2
    0.685642279439878-1.57079632675     		φ = -0.88515405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29418875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.855774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88515405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.715591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59399 KachelY 87028 -0.29418875 -0.88515405 -16.855774 -50.715591
    Oben rechts KachelX + 1 59400 KachelY 87028 -0.29414082 -0.88515405 -16.853028 -50.715591
    Unten links KachelX 59399 KachelY + 1 87029 -0.29418875 -0.88518440 -16.855774 -50.717330
    Unten rechts KachelX + 1 59400 KachelY + 1 87029 -0.29414082 -0.88518440 -16.853028 -50.717330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88515405--0.88518440) × R
    3.03499999999568e-05 × 6371000     		dl = 193.359849999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88515405--0.88518440) × R
    3.03499999999568e-05 × 6371000     		dr = 193.359849999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29418875--0.29414082) × cos(-0.88515405) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.633170272370695 × 6371000     		do = 193.346159706663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29418875--0.29414082) × cos(-0.88518440) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.633146780798612 × 6371000     		du = 193.338986272524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88515405)-sin(-0.88518440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633170272370695-0.633146780798612)×R²
    abs(-0.29414082--0.29418875)×2.34915720834783e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34915720834783e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34915720834783e-05×40589641000000     		ar = 37384.6909147629m²