Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59387 / 89575
↖ ↑ ↗
← S 54.938188°
W 16.888733°		 ← 175.45 m → S 54.938188°
W 16.885986°		 →
↑
175.39 m
↓
↑
175.39 m
↓
S 54.939766°
W 16.888733°		 ← 175.45 m →
30 773 m²		 S 54.939766°
W 16.885986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453090667724609 y=0.683406829833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453090667724609 × 217)
    floor (0.453090667724609 × 131072)
    floor (59387.5)     		tx = 59387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683406829833984 × 217)
    floor (0.683406829833984 × 131072)
    floor (89575.5)     		ty = 89575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59387 / 89575 ti = "17/59387/89575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59387/89575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59387 ÷ 217
    59387 ÷ 131072     		x = 0.453086853027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89575 ÷ 217
    89575 ÷ 131072     		y = 0.683403015136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453086853027344 × 2 - 1) × π
    -0.0938262939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29476400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683403015136719 × 2 - 1) × π
    -0.366806030273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.15235512996653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29476400} λ = -0.29476400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15235512996653))-π/2
    2×atan(0.315891926080651)-π/2
    2×0.305972030666685-π/2
    0.61194406133337-1.57079632675     		φ = -0.95885227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29476400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.888733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95885227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.938188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59387 KachelY 89575 -0.29476400 -0.95885227 -16.888733 -54.938188
    Oben rechts KachelX + 1 59388 KachelY 89575 -0.29471606 -0.95885227 -16.885986 -54.938188
    Unten links KachelX 59387 KachelY + 1 89576 -0.29476400 -0.95887980 -16.888733 -54.939766
    Unten rechts KachelX + 1 59388 KachelY + 1 89576 -0.29471606 -0.95887980 -16.885986 -54.939766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95885227--0.95887980) × R
    2.75299999999978e-05 × 6371000     		dl = 175.393629999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95885227--0.95887980) × R
    2.75299999999978e-05 × 6371000     		dr = 175.393629999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29476400--0.29471606) × cos(-0.95885227) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.574459818860369 × 6371000     		do = 175.454815275782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29476400--0.29471606) × cos(-0.95887980) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.57443728443517 × 6371000     		du = 175.44793268229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95885227)-sin(-0.95887980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574459818860369-0.57443728443517)×R²
    abs(-0.29471606--0.29476400)×2.25344251993942e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25344251993942e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25344251993942e-05×40589641000000     		ar = 30773.0533726298m²