Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59373 / 88919
↖ ↑ ↗
← S 53.889773°
W 16.927185°		 ← 179.96 m → S 53.889773°
W 16.924439°		 →
↑
179.98 m
↓
↑
179.98 m
↓
S 53.891391°
W 16.927185°		 ← 179.96 m →
32 389 m²		 S 53.891391°
W 16.924439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452983856201172 y=0.678401947021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452983856201172 × 217)
    floor (0.452983856201172 × 131072)
    floor (59373.5)     		tx = 59373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678401947021484 × 217)
    floor (0.678401947021484 × 131072)
    floor (88919.5)     		ty = 88919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59373 / 88919 ti = "17/59373/88919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59373/88919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59373 ÷ 217
    59373 ÷ 131072     		x = 0.452980041503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88919 ÷ 217
    88919 ÷ 131072     		y = 0.678398132324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452980041503906 × 2 - 1) × π
    -0.0940399169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29543511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678398132324219 × 2 - 1) × π
    -0.356796264648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.12090852381577
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29543511} λ = -0.29543511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12090852381577))-π/2
    2×atan(0.325983496276452)-π/2
    2×0.315121180504875-π/2
    0.630242361009751-1.57079632675     		φ = -0.94055397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29543511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.927185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94055397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.889773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59373 KachelY 88919 -0.29543511 -0.94055397 -16.927185 -53.889773
    Oben rechts KachelX + 1 59374 KachelY 88919 -0.29538718 -0.94055397 -16.924439 -53.889773
    Unten links KachelX 59373 KachelY + 1 88920 -0.29543511 -0.94058222 -16.927185 -53.891391
    Unten rechts KachelX + 1 59374 KachelY + 1 88920 -0.29538718 -0.94058222 -16.924439 -53.891391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94055397--0.94058222) × R
    2.82500000000629e-05 × 6371000     		dl = 179.980750000401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94055397--0.94058222) × R
    2.82500000000629e-05 × 6371000     		dr = 179.980750000401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29543511--0.29538718) × cos(-0.94055397) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.589340571595212 × 6371000     		do = 179.962233303576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29543511--0.29538718) × cos(-0.94058222) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.589317748617236 × 6371000     		du = 179.955264032691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94055397)-sin(-0.94058222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589340571595212-0.589317748617236)×R²
    abs(-0.29538718--0.29543511)×2.28229779754008e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.28229779754008e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.28229779754008e-05×40589641000000     		ar = 32389.1105565785m²