Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59289 / 89543
↖ ↑ ↗
← S 54.887667°
W 17.157898°		 ← 175.64 m → S 54.887667°
W 17.155152°		 →
↑
175.65 m
↓
↑
175.65 m
↓
S 54.889246°
W 17.157898°		 ← 175.63 m →
30 850 m²		 S 54.889246°
W 17.155152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452342987060547 y=0.683162689208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452342987060547 × 217)
    floor (0.452342987060547 × 131072)
    floor (59289.5)     		tx = 59289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683162689208984 × 217)
    floor (0.683162689208984 × 131072)
    floor (89543.5)     		ty = 89543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59289 / 89543 ti = "17/59289/89543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59289/89543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59289 ÷ 217
    59289 ÷ 131072     		x = 0.452339172363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89543 ÷ 217
    89543 ÷ 131072     		y = 0.683158874511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452339172363281 × 2 - 1) × π
    -0.0953216552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29946181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683158874511719 × 2 - 1) × π
    -0.366317749023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.15082114917869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29946181} λ = -0.29946181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15082114917869))-π/2
    2×atan(0.316376870078588)-π/2
    2×0.3064129125059-π/2
    0.6128258250118-1.57079632675     		φ = -0.95797050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29946181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.157898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95797050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.887667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59289 KachelY 89543 -0.29946181 -0.95797050 -17.157898 -54.887667
    Oben rechts KachelX + 1 59290 KachelY 89543 -0.29941388 -0.95797050 -17.155152 -54.887667
    Unten links KachelX 59289 KachelY + 1 89544 -0.29946181 -0.95799807 -17.157898 -54.889246
    Unten rechts KachelX + 1 59290 KachelY + 1 89544 -0.29941388 -0.95799807 -17.155152 -54.889246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95797050--0.95799807) × R
    2.75700000000878e-05 × 6371000     		dl = 175.648470000559m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95797050--0.95799807) × R
    2.75700000000878e-05 × 6371000     		dr = 175.648470000559m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29946181--0.29941388) × cos(-0.95797050) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.575181353092221 × 6371000     		do = 175.638545598291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29946181--0.29941388) × cos(-0.95799807) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.575158799898921 × 6371000     		du = 175.631658709403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95797050)-sin(-0.95799807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575181353092221-0.575158799898921)×R²
    abs(-0.29941388--0.29946181)×2.25531932993572e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.25531932993572e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.25531932993572e-05×40589641000000     		ar = 30850.0369738175m²