Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59281 / 89531
↖ ↑ ↗
← S 54.868705°
W 17.179871°		 ← 175.76 m → S 54.868705°
W 17.177124°		 →
↑
175.78 m
↓
↑
175.78 m
↓
S 54.870285°
W 17.179871°		 ← 175.75 m →
30 893 m²		 S 54.870285°
W 17.177124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452281951904297 y=0.683071136474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452281951904297 × 217)
    floor (0.452281951904297 × 131072)
    floor (59281.5)     		tx = 59281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683071136474609 × 217)
    floor (0.683071136474609 × 131072)
    floor (89531.5)     		ty = 89531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59281 / 89531 ti = "17/59281/89531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59281/89531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59281 ÷ 217
    59281 ÷ 131072     		x = 0.452278137207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89531 ÷ 217
    89531 ÷ 131072     		y = 0.683067321777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452278137207031 × 2 - 1) × π
    -0.0954437255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29984531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683067321777344 × 2 - 1) × π
    -0.366134643554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.15024590638325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29984531} λ = -0.29984531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15024590638325))-π/2
    2×atan(0.316558915949012)-π/2
    2×0.306578385896997-π/2
    0.613156771793995-1.57079632675     		φ = -0.95763955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29984531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.179871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95763955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.868705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59281 KachelY 89531 -0.29984531 -0.95763955 -17.179871 -54.868705
    Oben rechts KachelX + 1 59282 KachelY 89531 -0.29979737 -0.95763955 -17.177124 -54.868705
    Unten links KachelX 59281 KachelY + 1 89532 -0.29984531 -0.95766714 -17.179871 -54.870285
    Unten rechts KachelX + 1 59282 KachelY + 1 89532 -0.29979737 -0.95766714 -17.177124 -54.870285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95763955--0.95766714) × R
    2.75899999999663e-05 × 6371000     		dl = 175.775889999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95763955--0.95766714) × R
    2.75899999999663e-05 × 6371000     		dr = 175.775889999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29984531--0.29979737) × cos(-0.95763955) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.575452047267364 × 6371000     		do = 175.757867371034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29984531--0.29979737) × cos(-0.95766714) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.575429482966291 × 6371000     		du = 175.750975652682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95763955)-sin(-0.95766714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575452047267364-0.575429482966291)×R²
    abs(-0.29979737--0.29984531)×2.2564301072725e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2564301072725e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2564301072725e-05×40589641000000     		ar = 30893.3898645765m²