Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59247 / 88910
↖ ↑ ↗
← S 53.875202°
W 17.273254°		 ← 180.06 m → S 53.875202°
W 17.270508°		 →
↑
180.04 m
↓
↑
180.04 m
↓
S 53.876821°
W 17.273254°		 ← 180.06 m →
32 419 m²		 S 53.876821°
W 17.270508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452022552490234 y=0.678333282470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452022552490234 × 217)
    floor (0.452022552490234 × 131072)
    floor (59247.5)     		tx = 59247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678333282470703 × 217)
    floor (0.678333282470703 × 131072)
    floor (88910.5)     		ty = 88910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59247 / 88910 ti = "17/59247/88910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59247/88910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59247 ÷ 217
    59247 ÷ 131072     		x = 0.452018737792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88910 ÷ 217
    88910 ÷ 131072     		y = 0.678329467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452018737792969 × 2 - 1) × π
    -0.0959625244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30147516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678329467773438 × 2 - 1) × π
    -0.356658935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.12047709171919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30147516} λ = -0.30147516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12047709171919))-π/2
    2×atan(0.326124166362314)-π/2
    2×0.315248332881469-π/2
    0.630496665762937-1.57079632675     		φ = -0.94029966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30147516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.273254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94029966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.875202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59247 KachelY 88910 -0.30147516 -0.94029966 -17.273254 -53.875202
    Oben rechts KachelX + 1 59248 KachelY 88910 -0.30142722 -0.94029966 -17.270508 -53.875202
    Unten links KachelX 59247 KachelY + 1 88911 -0.30147516 -0.94032792 -17.273254 -53.876821
    Unten rechts KachelX + 1 59248 KachelY + 1 88911 -0.30142722 -0.94032792 -17.270508 -53.876821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94029966--0.94032792) × R
    2.82600000000022e-05 × 6371000     		dl = 180.044460000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94029966--0.94032792) × R
    2.82600000000022e-05 × 6371000     		dr = 180.044460000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30147516--0.30142722) × cos(-0.94029966) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.589546005694016 × 6371000     		do = 180.062525053229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30147516--0.30142722) × cos(-0.94032792) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.589523178873156 × 6371000     		du = 180.055553154577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94029966)-sin(-0.94032792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589546005694016-0.589523178873156)×R²
    abs(-0.30142722--0.30147516)×2.28268208594118e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28268208594118e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28268208594118e-05×40589641000000     		ar = 32418.6324657914m²