Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59246 / 87111
↖ ↑ ↗
← S 50.859710°
W 17.276001°		 ← 192.79 m → S 50.859710°
W 17.273254°		 →
↑
192.79 m
↓
↑
192.79 m
↓
S 50.861444°
W 17.276001°		 ← 192.78 m →
37 167 m²		 S 50.861444°
W 17.273254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452014923095703 y=0.664608001708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452014923095703 × 217)
    floor (0.452014923095703 × 131072)
    floor (59246.5)     		tx = 59246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664608001708984 × 217)
    floor (0.664608001708984 × 131072)
    floor (87111.5)     		ty = 87111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59246 / 87111 ti = "17/59246/87111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59246/87111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59246 ÷ 217
    59246 ÷ 131072     		x = 0.452011108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87111 ÷ 217
    87111 ÷ 131072     		y = 0.664604187011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452011108398438 × 2 - 1) × π
    -0.095977783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30152310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664604187011719 × 2 - 1) × π
    -0.329208374023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.03423860930271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30152310} λ = -0.30152310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03423860930271))-π/2
    2×atan(0.355496949978128)-π/2
    2×0.341563461498484-π/2
    0.683126922996968-1.57079632675     		φ = -0.88766940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30152310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.276001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88766940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.859710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59246 KachelY 87111 -0.30152310 -0.88766940 -17.276001 -50.859710
    Oben rechts KachelX + 1 59247 KachelY 87111 -0.30147516 -0.88766940 -17.273254 -50.859710
    Unten links KachelX 59246 KachelY + 1 87112 -0.30152310 -0.88769966 -17.276001 -50.861444
    Unten rechts KachelX + 1 59247 KachelY + 1 87112 -0.30147516 -0.88769966 -17.273254 -50.861444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88766940--0.88769966) × R
    3.02599999999487e-05 × 6371000     		dl = 192.786459999673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88766940--0.88769966) × R
    3.02599999999487e-05 × 6371000     		dr = 192.786459999673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30152310--0.30147516) × cos(-0.88766940) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.631221358962244 × 6371000     		do = 192.791250664723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30152310--0.30147516) × cos(-0.88769966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.63119788893462 × 6371000     		du = 192.784082314168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88766940)-sin(-0.88769966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631221358962244-0.63119788893462)×R²
    abs(-0.30147516--0.30152310)×2.34700276241506e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34700276241506e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34700276241506e-05×40589641000000     		ar = 37166.8517570648m²