Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59238 / 89786
↖ ↑ ↗
← S 55.269728°
W 17.297973°		 ← 173.97 m → S 55.269728°
W 17.295227°		 →
↑
173.99 m
↓
↑
173.99 m
↓
S 55.271293°
W 17.297973°		 ← 173.96 m →
30 269 m²		 S 55.271293°
W 17.295227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451953887939453 y=0.685016632080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451953887939453 × 217)
    floor (0.451953887939453 × 131072)
    floor (59238.5)     		tx = 59238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685016632080078 × 217)
    floor (0.685016632080078 × 131072)
    floor (89786.5)     		ty = 89786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59238 / 89786 ti = "17/59238/89786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59238/89786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59238 ÷ 217
    59238 ÷ 131072     		x = 0.451950073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89786 ÷ 217
    89786 ÷ 131072     		y = 0.685012817382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451950073242188 × 2 - 1) × π
    -0.096099853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30190659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685012817382812 × 2 - 1) × π
    -0.370025634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.16246981578636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30190659} λ = -0.30190659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16246981578636))-π/2
    2×atan(0.312712883108872)-π/2
    2×0.303078799949375-π/2
    0.606157599898751-1.57079632675     		φ = -0.96463873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30190659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.297973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96463873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.269728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59238 KachelY 89786 -0.30190659 -0.96463873 -17.297973 -55.269728
    Oben rechts KachelX + 1 59239 KachelY 89786 -0.30185866 -0.96463873 -17.295227 -55.269728
    Unten links KachelX 59238 KachelY + 1 89787 -0.30190659 -0.96466604 -17.297973 -55.271293
    Unten rechts KachelX + 1 59239 KachelY + 1 89787 -0.30185866 -0.96466604 -17.295227 -55.271293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96463873--0.96466604) × R
    2.73100000000026e-05 × 6371000     		dl = 173.992010000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96463873--0.96466604) × R
    2.73100000000026e-05 × 6371000     		dr = 173.992010000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30190659--0.30185866) × cos(-0.96463873) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.569713820759092 × 6371000     		do = 173.968968825958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30190659--0.30185866) × cos(-0.96466604) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.569691376010225 × 6371000     		du = 173.962115051881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96463873)-sin(-0.96466604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569713820759092-0.569691376010225)×R²
    abs(-0.30185866--0.30190659)×2.24447488675894e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.24447488675894e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.24447488675894e-05×40589641000000     		ar = 30268.6143146097m²