Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59229 / 89886
↖ ↑ ↗
← S 55.425896°
W 17.322693°		 ← 173.32 m → S 55.425896°
W 17.319946°		 →
↑
173.29 m
↓
↑
173.29 m
↓
S 55.427455°
W 17.322693°		 ← 173.31 m →
30 034 m²		 S 55.427455°
W 17.319946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451885223388672 y=0.685779571533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451885223388672 × 217)
    floor (0.451885223388672 × 131072)
    floor (59229.5)     		tx = 59229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685779571533203 × 217)
    floor (0.685779571533203 × 131072)
    floor (89886.5)     		ty = 89886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59229 / 89886 ti = "17/59229/89886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59229/89886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59229 ÷ 217
    59229 ÷ 131072     		x = 0.451881408691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89886 ÷ 217
    89886 ÷ 131072     		y = 0.685775756835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451881408691406 × 2 - 1) × π
    -0.0962371826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30233803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685775756835938 × 2 - 1) × π
    -0.371551513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16726350574837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30233803} λ = -0.30233803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16726350574837))-π/2
    2×atan(0.311217421752909)-π/2
    2×0.301715972226295-π/2
    0.60343194445259-1.57079632675     		φ = -0.96736438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30233803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.322693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96736438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.425896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59229 KachelY 89886 -0.30233803 -0.96736438 -17.322693 -55.425896
    Oben rechts KachelX + 1 59230 KachelY 89886 -0.30229009 -0.96736438 -17.319946 -55.425896
    Unten links KachelX 59229 KachelY + 1 89887 -0.30233803 -0.96739158 -17.322693 -55.427455
    Unten rechts KachelX + 1 59230 KachelY + 1 89887 -0.30229009 -0.96739158 -17.319946 -55.427455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96736438--0.96739158) × R
    2.7200000000005e-05 × 6371000     		dl = 173.291200000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96736438--0.96739158) × R
    2.7200000000005e-05 × 6371000     		dr = 173.291200000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30233803--0.30229009) × cos(-0.96736438) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.567471650503679 × 6371000     		do = 173.320448783994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30233803--0.30229009) × cos(-0.96739158) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.567449254005923 × 6371000     		du = 173.313608317093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96736438)-sin(-0.96739158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567471650503679-0.567449254005923)×R²
    abs(-0.30229009--0.30233803)×2.23964977560387e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23964977560387e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23964977560387e-05×40589641000000     		ar = 30034.3158599177m²