Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59152 / 93968
↖ ↑ ↗
← S 61.291349°
W 17.534180°		 ← 146.71 m → S 61.291349°
W 17.531433°		 →
↑
146.66 m
↓
↑
146.66 m
↓
S 61.292668°
W 17.534180°		 ← 146.71 m →
21 517 m²		 S 61.292668°
W 17.531433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451297760009766 y=0.716922760009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451297760009766 × 217)
    floor (0.451297760009766 × 131072)
    floor (59152.5)     		tx = 59152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716922760009766 × 217)
    floor (0.716922760009766 × 131072)
    floor (93968.5)     		ty = 93968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59152 / 93968 ti = "17/59152/93968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59152/93968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59152 ÷ 217
    59152 ÷ 131072     		x = 0.4512939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93968 ÷ 217
    93968 ÷ 131072     		y = 0.7169189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4512939453125 × 2 - 1) × π
    -0.097412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30602917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7169189453125 × 2 - 1) × π
    -0.433837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.36294192999744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30602917} λ = -0.30602917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36294192999744))-π/2
    2×atan(0.255906808519644)-π/2
    2×0.250530239420859-π/2
    0.501060478841719-1.57079632675     		φ = -1.06973585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30602917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.534180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06973585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.291349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59152 KachelY 93968 -0.30602917 -1.06973585 -17.534180 -61.291349
    Oben rechts KachelX + 1 59153 KachelY 93968 -0.30598123 -1.06973585 -17.531433 -61.291349
    Unten links KachelX 59152 KachelY + 1 93969 -0.30602917 -1.06975887 -17.534180 -61.292668
    Unten rechts KachelX + 1 59153 KachelY + 1 93969 -0.30598123 -1.06975887 -17.531433 -61.292668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06973585--1.06975887) × R
    2.30199999999847e-05 × 6371000     		dl = 146.660419999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06973585--1.06975887) × R
    2.30199999999847e-05 × 6371000     		dr = 146.660419999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30602917--0.30598123) × cos(-1.06973585) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.480355924788656 × 6371000     		do = 146.713063792033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30602917--0.30598123) × cos(-1.06975887) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.480335734425986 × 6371000     		du = 146.706897135574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06973585)-sin(-1.06975887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480355924788656-0.480335734425986)×R²
    abs(-0.30598123--0.30602917)×2.01903626700917e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.01903626700917e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.01903626700917e-05×40589641000000     		ar = 21516.5473539897m²