Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59136 / 92928
↖ ↑ ↗
← S 59.888937°
W 17.578125°		 ← 153.23 m → S 59.888937°
W 17.575378°		 →
↑
153.22 m
↓
↑
153.22 m
↓
S 59.890315°
W 17.578125°		 ← 153.22 m →
23 477 m²		 S 59.890315°
W 17.575378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 92928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451175689697266 y=0.708988189697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451175689697266 × 217)
    floor (0.451175689697266 × 131072)
    floor (59136.5)     		tx = 59136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.708988189697266 × 217)
    floor (0.708988189697266 × 131072)
    floor (92928.5)     		ty = 92928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59136 / 92928 ti = "17/59136/92928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59136/92928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59136 ÷ 217
    59136 ÷ 131072     		x = 0.451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 92928 ÷ 217
    92928 ÷ 131072     		y = 0.708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451171875 × 2 - 1) × π
    -0.09765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30679616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.708984375 × 2 - 1) × π
    -0.41796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.31308755439258
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30679616} λ = -0.30679616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.31308755439258))-π/2
    2×atan(0.268988257058018)-π/2
    2×0.262768596223023-π/2
    0.525537192446046-1.57079632675     		φ = -1.04525913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30679616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.578125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.04525913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -59.888937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59136 KachelY 92928 -0.30679616 -1.04525913 -17.578125 -59.888937
    Oben rechts KachelX + 1 59137 KachelY 92928 -0.30674822 -1.04525913 -17.575378 -59.888937
    Unten links KachelX 59136 KachelY + 1 92929 -0.30679616 -1.04528318 -17.578125 -59.890315
    Unten rechts KachelX + 1 59137 KachelY + 1 92929 -0.30674822 -1.04528318 -17.575378 -59.890315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.04525913--1.04528318) × R
    2.40499999999422e-05 × 6371000     		dl = 153.222549999632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.04525913--1.04528318) × R
    2.40499999999422e-05 × 6371000     		dr = 153.222549999632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30679616--0.30674822) × cos(-1.04525913) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.501677781579305 × 6371000     		do = 153.225307680317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30679616--0.30674822) × cos(-1.04528318) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.501656976871891 × 6371000     		du = 153.21895338716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.04525913)-sin(-1.04528318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501677781579305-0.501656976871891)×R²
    abs(-0.30674822--0.30679616)×2.08047074143902e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.08047074143902e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.08047074143902e-05×40589641000000     		ar = 23477.0855578616m²