Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59133 / 89860
↖ ↑ ↗
← S 55.385352°
W 17.586365°		 ← 173.50 m → S 55.385352°
W 17.583618°		 →
↑
173.48 m
↓
↑
173.48 m
↓
S 55.386912°
W 17.586365°		 ← 173.49 m →
30 098 m²		 S 55.386912°
W 17.583618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451152801513672 y=0.685581207275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451152801513672 × 217)
    floor (0.451152801513672 × 131072)
    floor (59133.5)     		tx = 59133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685581207275391 × 217)
    floor (0.685581207275391 × 131072)
    floor (89860.5)     		ty = 89860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59133 / 89860 ti = "17/59133/89860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59133/89860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59133 ÷ 217
    59133 ÷ 131072     		x = 0.451148986816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89860 ÷ 217
    89860 ÷ 131072     		y = 0.685577392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451148986816406 × 2 - 1) × π
    -0.0977020263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30693997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685577392578125 × 2 - 1) × π
    -0.37115478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.16601714635825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30693997} λ = -0.30693997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16601714635825))-π/2
    2×atan(0.311605552333733)-π/2
    2×0.302069790526519-π/2
    0.604139581053038-1.57079632675     		φ = -0.96665675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30693997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.586365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96665675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.385352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59133 KachelY 89860 -0.30693997 -0.96665675 -17.586365 -55.385352
    Oben rechts KachelX + 1 59134 KachelY 89860 -0.30689203 -0.96665675 -17.583618 -55.385352
    Unten links KachelX 59133 KachelY + 1 89861 -0.30693997 -0.96668398 -17.586365 -55.386912
    Unten rechts KachelX + 1 59134 KachelY + 1 89861 -0.30689203 -0.96668398 -17.583618 -55.386912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96665675--0.96668398) × R
    2.72300000000447e-05 × 6371000     		dl = 173.482330000285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96665675--0.96668398) × R
    2.72300000000447e-05 × 6371000     		dr = 173.482330000285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30693997--0.30689203) × cos(-0.96665675) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.568054165919914 × 6371000     		do = 173.49836398626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30693997--0.30689203) × cos(-0.96668398) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.568031755659781 × 6371000     		du = 173.491519315975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96665675)-sin(-0.96668398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568054165919914-0.568031755659781)×R²
    abs(-0.30689203--0.30693997)×2.24102601329434e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24102601329434e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24102601329434e-05×40589641000000     		ar = 30098.306722802m²