Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59127 / 90323
↖ ↑ ↗
← S 56.101152°
W 17.602844°		 ← 170.34 m → S 56.101152°
W 17.600097°		 →
↑
170.30 m
↓
↑
170.30 m
↓
S 56.102683°
W 17.602844°		 ← 170.34 m →
29 009 m²		 S 56.102683°
W 17.600097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451107025146484 y=0.689113616943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451107025146484 × 217)
    floor (0.451107025146484 × 131072)
    floor (59127.5)     		tx = 59127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689113616943359 × 217)
    floor (0.689113616943359 × 131072)
    floor (90323.5)     		ty = 90323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59127 / 90323 ti = "17/59127/90323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59127/90323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59127 ÷ 217
    59127 ÷ 131072     		x = 0.451103210449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90323 ÷ 217
    90323 ÷ 131072     		y = 0.689109802246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451103210449219 × 2 - 1) × π
    -0.0977935791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30722759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689109802246094 × 2 - 1) × π
    -0.378219604492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.18821193088233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30722759} λ = -0.30722759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18821193088233))-π/2
    2×atan(0.304765719330681)-π/2
    2×0.295823258917952-π/2
    0.591646517835903-1.57079632675     		φ = -0.97914981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30722759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.602844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97914981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.101152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59127 KachelY 90323 -0.30722759 -0.97914981 -17.602844 -56.101152
    Oben rechts KachelX + 1 59128 KachelY 90323 -0.30717965 -0.97914981 -17.600097 -56.101152
    Unten links KachelX 59127 KachelY + 1 90324 -0.30722759 -0.97917654 -17.602844 -56.102683
    Unten rechts KachelX + 1 59128 KachelY + 1 90324 -0.30717965 -0.97917654 -17.600097 -56.102683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97914981--0.97917654) × R
    2.67299999999748e-05 × 6371000     		dl = 170.29682999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97914981--0.97917654) × R
    2.67299999999748e-05 × 6371000     		dr = 170.29682999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30722759--0.30717965) × cos(-0.97914981) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.557728425926222 × 6371000     		do = 170.34461720744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30722759--0.30717965) × cos(-0.97917654) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.557706239198946 × 6371000     		du = 170.337840809843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97914981)-sin(-0.97917654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557728425926222-0.557706239198946)×R²
    abs(-0.30717965--0.30722759)×2.21867272758303e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.21867272758303e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.21867272758303e-05×40589641000000     		ar = 29008.5713201228m²