Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59125 / 90321
↖ ↑ ↗
← S 56.098088°
W 17.608337°		 ← 170.32 m → S 56.098088°
W 17.605591°		 →
↑
170.30 m
↓
↑
170.30 m
↓
S 56.099620°
W 17.608337°		 ← 170.32 m →
29 005 m²		 S 56.099620°
W 17.605591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451091766357422 y=0.689098358154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451091766357422 × 217)
    floor (0.451091766357422 × 131072)
    floor (59125.5)     		tx = 59125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689098358154297 × 217)
    floor (0.689098358154297 × 131072)
    floor (90321.5)     		ty = 90321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59125 / 90321 ti = "17/59125/90321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59125/90321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59125 ÷ 217
    59125 ÷ 131072     		x = 0.451087951660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90321 ÷ 217
    90321 ÷ 131072     		y = 0.689094543457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451087951660156 × 2 - 1) × π
    -0.0978240966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30732346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689094543457031 × 2 - 1) × π
    -0.378189086914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.18811605708309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30732346} λ = -0.30732346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18811605708309))-π/2
    2×atan(0.304794939778786)-π/2
    2×0.29584999575336-π/2
    0.591699991506721-1.57079632675     		φ = -0.97909634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30732346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.608337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97909634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.098088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59125 KachelY 90321 -0.30732346 -0.97909634 -17.608337 -56.098088
    Oben rechts KachelX + 1 59126 KachelY 90321 -0.30727553 -0.97909634 -17.605591 -56.098088
    Unten links KachelX 59125 KachelY + 1 90322 -0.30732346 -0.97912307 -17.608337 -56.099620
    Unten rechts KachelX + 1 59126 KachelY + 1 90322 -0.30727553 -0.97912307 -17.605591 -56.099620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97909634--0.97912307) × R
    2.67299999999748e-05 × 6371000     		dl = 170.29682999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97909634--0.97912307) × R
    2.67299999999748e-05 × 6371000     		dr = 170.29682999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30732346--0.30727553) × cos(-0.97909634) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.557772806485216 × 6371000     		do = 170.32263646703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30732346--0.30727553) × cos(-0.97912307) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.557750620555091 × 6371000     		du = 170.315861726369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97909634)-sin(-0.97912307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557772806485216-0.557750620555091)×R²
    abs(-0.30727553--0.30732346)×2.21859301249294e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.21859301249294e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.21859301249294e-05×40589641000000     		ar = 29004.8282109116m²