Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59115 / 90319
↖ ↑ ↗
← S 56.095024°
W 17.635803°		 ← 170.34 m → S 56.095024°
W 17.633057°		 →
↑
170.36 m
↓
↑
170.36 m
↓
S 56.096556°
W 17.635803°		 ← 170.33 m →
29 018 m²		 S 56.096556°
W 17.633057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451015472412109 y=0.689083099365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451015472412109 × 217)
    floor (0.451015472412109 × 131072)
    floor (59115.5)     		tx = 59115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689083099365234 × 217)
    floor (0.689083099365234 × 131072)
    floor (90319.5)     		ty = 90319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59115 / 90319 ti = "17/59115/90319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59115/90319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59115 ÷ 217
    59115 ÷ 131072     		x = 0.451011657714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90319 ÷ 217
    90319 ÷ 131072     		y = 0.689079284667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451011657714844 × 2 - 1) × π
    -0.0979766845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30780283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689079284667969 × 2 - 1) × π
    -0.378158569335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.18802018328385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30780283} λ = -0.30780283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18802018328385))-π/2
    2×atan(0.304824163028502)-π/2
    2×0.295876734716428-π/2
    0.591753469432856-1.57079632675     		φ = -0.97904286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30780283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.635803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97904286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.095024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59115 KachelY 90319 -0.30780283 -0.97904286 -17.635803 -56.095024
    Oben rechts KachelX + 1 59116 KachelY 90319 -0.30775490 -0.97904286 -17.633057 -56.095024
    Unten links KachelX 59115 KachelY + 1 90320 -0.30780283 -0.97906960 -17.635803 -56.096556
    Unten rechts KachelX + 1 59116 KachelY + 1 90320 -0.30775490 -0.97906960 -17.633057 -56.096556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97904286--0.97906960) × R
    2.67400000000251e-05 × 6371000     		dl = 170.36054000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97904286--0.97906960) × R
    2.67400000000251e-05 × 6371000     		dr = 170.36054000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30780283--0.30775490) × cos(-0.97904286) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.557817193749152 × 6371000     		do = 170.336190652249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30780283--0.30775490) × cos(-0.97906960) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.557795000316603 × 6371000     		du = 170.329413620633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97904286)-sin(-0.97906960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557817193749152-0.557795000316603)×R²
    abs(-0.30775490--0.30780283)×2.21934325490558e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.21934325490558e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.21934325490558e-05×40589641000000     		ar = 29017.9881536004m²