Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59111 / 89345
↖ ↑ ↗
← S 54.573654°
W 17.646790°		 ← 177.04 m → S 54.573654°
W 17.644043°		 →
↑
177.05 m
↓
↑
177.05 m
↓
S 54.575246°
W 17.646790°		 ← 177.03 m →
31 345 m²		 S 54.575246°
W 17.644043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450984954833984 y=0.681652069091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450984954833984 × 217)
    floor (0.450984954833984 × 131072)
    floor (59111.5)     		tx = 59111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681652069091797 × 217)
    floor (0.681652069091797 × 131072)
    floor (89345.5)     		ty = 89345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59111 / 89345 ti = "17/59111/89345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59111/89345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59111 ÷ 217
    59111 ÷ 131072     		x = 0.450981140136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89345 ÷ 217
    89345 ÷ 131072     		y = 0.681648254394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450981140136719 × 2 - 1) × π
    -0.0980377197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30799458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681648254394531 × 2 - 1) × π
    -0.363296508789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.14132964305392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30799458} λ = -0.30799458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14132964305392))-π/2
    2×atan(0.319394059262299)-π/2
    2×0.309153191935184-π/2
    0.618306383870367-1.57079632675     		φ = -0.95248994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30799458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.646790°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95248994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.573654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59111 KachelY 89345 -0.30799458 -0.95248994 -17.646790 -54.573654
    Oben rechts KachelX + 1 59112 KachelY 89345 -0.30794664 -0.95248994 -17.644043 -54.573654
    Unten links KachelX 59111 KachelY + 1 89346 -0.30799458 -0.95251773 -17.646790 -54.575246
    Unten rechts KachelX + 1 59112 KachelY + 1 89346 -0.30794664 -0.95251773 -17.644043 -54.575246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95248994--0.95251773) × R
    2.7789999999972e-05 × 6371000     		dl = 177.050089999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95248994--0.95251773) × R
    2.7789999999972e-05 × 6371000     		dr = 177.050089999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30799458--0.30794664) × cos(-0.95248994) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.579655932595861 × 6371000     		do = 177.04184215857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30799458--0.30794664) × cos(-0.95251773) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.579633287375457 × 6371000     		du = 177.034925725371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95248994)-sin(-0.95251773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579655932595861-0.579633287375457)×R²
    abs(-0.30794664--0.30799458)×2.26452204034056e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26452204034056e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26452204034056e-05×40589641000000     		ar = 31344.6618122463m²