Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59109 / 89691
↖ ↑ ↗
← S 55.120797°
W 17.652282°		 ← 174.62 m → S 55.120797°
W 17.649536°		 →
↑
174.63 m
↓
↑
174.63 m
↓
S 55.122367°
W 17.652282°		 ← 174.61 m →
30 493 m²		 S 55.122367°
W 17.649536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450969696044922 y=0.684291839599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450969696044922 × 217)
    floor (0.450969696044922 × 131072)
    floor (59109.5)     		tx = 59109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684291839599609 × 217)
    floor (0.684291839599609 × 131072)
    floor (89691.5)     		ty = 89691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59109 / 89691 ti = "17/59109/89691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59109/89691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59109 ÷ 217
    59109 ÷ 131072     		x = 0.450965881347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89691 ÷ 217
    89691 ÷ 131072     		y = 0.684288024902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450965881347656 × 2 - 1) × π
    -0.0980682373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30809045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684288024902344 × 2 - 1) × π
    -0.368576049804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.15791581032246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30809045} λ = -0.30809045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15791581032246))-π/2
    2×atan(0.314140226886062)-π/2
    2×0.30437846902648-π/2
    0.60875693805296-1.57079632675     		φ = -0.96203939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30809045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.652282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96203939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.120797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59109 KachelY 89691 -0.30809045 -0.96203939 -17.652282 -55.120797
    Oben rechts KachelX + 1 59110 KachelY 89691 -0.30804252 -0.96203939 -17.649536 -55.120797
    Unten links KachelX 59109 KachelY + 1 89692 -0.30809045 -0.96206680 -17.652282 -55.122367
    Unten rechts KachelX + 1 59110 KachelY + 1 89692 -0.30804252 -0.96206680 -17.649536 -55.122367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96203939--0.96206680) × R
    2.740999999995e-05 × 6371000     		dl = 174.629109999681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96203939--0.96206680) × R
    2.740999999995e-05 × 6371000     		dr = 174.629109999681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30809045--0.30804252) × cos(-0.96203939) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.571848143471658 × 6371000     		do = 174.620709942344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30809045--0.30804252) × cos(-0.96206680) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.571825657203089 × 6371000     		du = 174.613843489726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96203939)-sin(-0.96206680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571848143471658-0.571825657203089)×R²
    abs(-0.30804252--0.30809045)×2.2486268568378e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.2486268568378e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.2486268568378e-05×40589641000000     		ar = 30493.2596254984m²