Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59106 / 89437
↖ ↑ ↗
← S 54.719862°
W 17.660522°		 ← 176.37 m → S 54.719862°
W 17.657776°		 →
↑
176.35 m
↓
↑
176.35 m
↓
S 54.721447°
W 17.660522°		 ← 176.36 m →
31 102 m²		 S 54.721447°
W 17.657776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450946807861328 y=0.682353973388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450946807861328 × 217)
    floor (0.450946807861328 × 131072)
    floor (59106.5)     		tx = 59106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682353973388672 × 217)
    floor (0.682353973388672 × 131072)
    floor (89437.5)     		ty = 89437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59106 / 89437 ti = "17/59106/89437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59106/89437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59106 ÷ 217
    59106 ÷ 131072     		x = 0.450942993164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89437 ÷ 217
    89437 ÷ 131072     		y = 0.682350158691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450942993164062 × 2 - 1) × π
    -0.098114013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30823426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682350158691406 × 2 - 1) × π
    -0.364700317382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.14573983781896
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30823426} λ = -0.30823426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14573983781896))-π/2
    2×atan(0.317988570771187)-π/2
    2×0.307877289525784-π/2
    0.615754579051568-1.57079632675     		φ = -0.95504175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30823426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.660522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95504175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.719862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59106 KachelY 89437 -0.30823426 -0.95504175 -17.660522 -54.719862
    Oben rechts KachelX + 1 59107 KachelY 89437 -0.30818633 -0.95504175 -17.657776 -54.719862
    Unten links KachelX 59106 KachelY + 1 89438 -0.30823426 -0.95506943 -17.660522 -54.721447
    Unten rechts KachelX + 1 59107 KachelY + 1 89438 -0.30818633 -0.95506943 -17.657776 -54.721447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95504175--0.95506943) × R
    2.76799999999744e-05 × 6371000     		dl = 176.349279999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95504175--0.95506943) × R
    2.76799999999744e-05 × 6371000     		dr = 176.349279999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30823426--0.30818633) × cos(-0.95504175) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.577574676260544 × 6371000     		do = 176.369375619416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30823426--0.30818633) × cos(-0.95506943) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.577552079807459 × 6371000     		du = 176.362475520631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95504175)-sin(-0.95506943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577574676260544-0.577552079807459)×R²
    abs(-0.30818633--0.30823426)×2.25964530845557e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.25964530845557e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.25964530845557e-05×40589641000000     		ar = 31102.0039926654m²