Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59086 / 90178
↖ ↑ ↗
← S 55.878393°
W 17.715454°		 ← 171.29 m → S 55.878393°
W 17.712708°		 →
↑
171.32 m
↓
↑
171.32 m
↓
S 55.879933°
W 17.715454°		 ← 171.29 m →
29 345 m²		 S 55.879933°
W 17.712708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450794219970703 y=0.688007354736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450794219970703 × 217)
    floor (0.450794219970703 × 131072)
    floor (59086.5)     		tx = 59086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688007354736328 × 217)
    floor (0.688007354736328 × 131072)
    floor (90178.5)     		ty = 90178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59086 / 90178 ti = "17/59086/90178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59086/90178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59086 ÷ 217
    59086 ÷ 131072     		x = 0.450790405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90178 ÷ 217
    90178 ÷ 131072     		y = 0.688003540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450790405273438 × 2 - 1) × π
    -0.098419189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30919300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688003540039062 × 2 - 1) × π
    -0.376007080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.18126108043742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30919300} λ = -0.30919300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18126108043742))-π/2
    2×atan(0.306891479628725)-π/2
    2×0.297767199747569-π/2
    0.595534399495139-1.57079632675     		φ = -0.97526193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30919300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.715454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97526193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.878393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59086 KachelY 90178 -0.30919300 -0.97526193 -17.715454 -55.878393
    Oben rechts KachelX + 1 59087 KachelY 90178 -0.30914507 -0.97526193 -17.712708 -55.878393
    Unten links KachelX 59086 KachelY + 1 90179 -0.30919300 -0.97528882 -17.715454 -55.879933
    Unten rechts KachelX + 1 59087 KachelY + 1 90179 -0.30914507 -0.97528882 -17.712708 -55.879933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97526193--0.97528882) × R
    2.68899999998906e-05 × 6371000     		dl = 171.316189999303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97526193--0.97528882) × R
    2.68899999998906e-05 × 6371000     		dr = 171.316189999303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30919300--0.30914507) × cos(-0.97526193) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.560951234346133 × 6371000     		do = 171.293207650847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30919300--0.30914507) × cos(-0.97528882) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.560928973287849 × 6371000     		du = 171.2864099689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97526193)-sin(-0.97528882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560951234346133-0.560928973287849)×R²
    abs(-0.30914507--0.30919300)×2.22610582842897e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.22610582842897e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.22610582842897e-05×40589641000000     		ar = 29344.7174328376m²