Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59084 / 90195
↖ ↑ ↗
← S 55.904576°
W 17.720947°		 ← 171.21 m → S 55.904576°
W 17.718201°		 →
↑
171.19 m
↓
↑
171.19 m
↓
S 55.906115°
W 17.720947°		 ← 171.21 m →
29 309 m²		 S 55.906115°
W 17.718201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450778961181641 y=0.688137054443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450778961181641 × 217)
    floor (0.450778961181641 × 131072)
    floor (59084.5)     		tx = 59084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688137054443359 × 217)
    floor (0.688137054443359 × 131072)
    floor (90195.5)     		ty = 90195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59084 / 90195 ti = "17/59084/90195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59084/90195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59084 ÷ 217
    59084 ÷ 131072     		x = 0.450775146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90195 ÷ 217
    90195 ÷ 131072     		y = 0.688133239746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450775146484375 × 2 - 1) × π
    -0.09844970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30928888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688133239746094 × 2 - 1) × π
    -0.376266479492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.18207600773096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30928888} λ = -0.30928888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18207600773096))-π/2
    2×atan(0.306641487262456)-π/2
    2×0.297538709601584-π/2
    0.595077419203168-1.57079632675     		φ = -0.97571891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30928888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.720947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97571891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.904576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59084 KachelY 90195 -0.30928888 -0.97571891 -17.720947 -55.904576
    Oben rechts KachelX + 1 59085 KachelY 90195 -0.30924094 -0.97571891 -17.718201 -55.904576
    Unten links KachelX 59084 KachelY + 1 90196 -0.30928888 -0.97574578 -17.720947 -55.906115
    Unten rechts KachelX + 1 59085 KachelY + 1 90196 -0.30924094 -0.97574578 -17.718201 -55.906115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97571891--0.97574578) × R
    2.68700000000122e-05 × 6371000     		dl = 171.188770000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97571891--0.97574578) × R
    2.68700000000122e-05 × 6371000     		dr = 171.188770000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30928888--0.30924094) × cos(-0.97571891) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.560572865421493 × 6371000     		do = 171.213382245168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30928888--0.30924094) × cos(-0.97574578) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.560550614034997 × 6371000     		du = 171.206586098981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97571891)-sin(-0.97574578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560572865421493-0.560550614034997)×R²
    abs(-0.30924094--0.30928888)×2.22513864961416e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.22513864961416e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.22513864961416e-05×40589641000000     		ar = 29309.2266039546m²